RANDOM
AMBIENT
Banner-Video
VIDEO

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\)

Cho 3 số thực dương a; b ; c thỏa mãn điều kiện: \(\small \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\)

  bởi hành thư 08/02/2017
ADSENSE
QUẢNG CÁO

Câu trả lời (2)

  • Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\Rightarrow x;y;z>0;\ \ x+y+z=1\)
    \(\Rightarrow P=z^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+x^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+y^2(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})\)
    + Áp dụng BĐT Bunhiacopxky: \(1=(x+y+z)^2\)

    \(\left ( \frac{x}{\sqrt{y+z}} .\sqrt{y+z}+ \frac{y}{\sqrt{z+x}} .\sqrt{z+x}+ \frac{z}{\sqrt{x+y}} .\sqrt{x+y}\right )^2\)
    \(\leq \left ( \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y} \right )2(x+y+z)\)
    \(\leq 2\left ( \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x} +\frac{z^2}{x+y}\right )\Leftrightarrow \frac{1}{2}\leq \frac{1}{P}\Leftrightarrow P\geq 2\)
    + Dấu "='' xảy ra \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=3\)
    Vậy Pmin= 2 \(\Leftrightarrow\) a = b = c = 3

      bởi Lê Nhật Minh 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy

 

 
 

Các câu hỏi có liên quan

YOMEDIA