OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
UREKA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=x^2+y^2-4x-6y+\frac{x^8+y^8}{x^4y^4}-\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)

Cho x, y là các số thực sao cho \(1\leq x\leq 2,\ 3\leq y\leq 4\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=x^2+y^2-4x-6y+\frac{x^8+y^8}{x^4y^4}-\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)

  bởi Kim Ngan 07/02/2017
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (2)

  • \(P=(x-2)^2+(y-3)^2+\left ( \frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4} \right )-\left ( \frac{x^2}{y^2} +\frac{y^2}{x^2}\right )+\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )-13\)
    Do \((x-2)^2\geq 0\) và \((y-3)^2\geq 0\) nên ta có
    \(P\geq \left ( \frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4} \right )-\left ( \frac{x^2}{y^2} +\frac{y^2}{x^2}\right )+\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )-13\)
    Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\). Khi đó \(t^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\Rightarrow \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\)

    \(\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}=\left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \right )^2-2=(t^2-2)^2-2=t^4-4t^2+2\)
    Vậy \(P\geq t^4-5t^2+t-9=f(t)\)
    * Bây giờ ta tìm điều kiện của t?
    Do \(1\leq x\leq 2,3\leq y\leq 4\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1\leq x\leq 2\\ \frac{1}{4}\leq \frac{1}{y}\leq \frac{1}{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{4}\leq \frac{x}{y}\leq \frac{2}{3}\)
    Đặt  \(\frac{x}{y}=u\), ta có \(t=u+\frac{1}{u},u\in \left [ \frac{1}{4} ;\frac{2}{3}\right ]\)

    \(t'(u)=1-\frac{1}{u^2}\Rightarrow t'< 0, \forall \ u \ \in \left [ \frac{1}{4} ;\frac{2}{3}\right ]\)
    Vậy \(t\left ( \frac{2}{3} \right )\leq t\leq t\left ( \frac{1}{4} \right )\Leftrightarrow \frac{13}{6}\leq t\leq \frac{17}{4}\)
    Ta khảo sát hàm số \(f'(t)=t^4-5t^2+t-9, t\in \left [ \frac{13}{6};\frac{17}{4} \right ]\)
    \(f'(t)=4t^3-10t+1=4t(t^2-4)+6t+1> 0, \forall t\in \left [ \frac{13}{6};\frac{17}{4} \right ]\)
    Vậy hàm số f(t) đồng biến trên \(\left [ \frac{13}{6};\frac{17}{4} \right ]\)
    Nên ta có \(f(t)\geq f\left ( \frac{13}{6} \right )=-\frac{10715}{1296}\). Vậy ta có:
    \(P\geq f(t)\geq -\frac{10715}{1296}\). Đẳng thức xảy ra \(\left\{\begin{matrix} x=2,y=3\\ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2, y=3\)
    Kết quả \(min P=-\frac{10715}{1296}\) với x = 2, y = 3

      bởi Nguyễn Thủy 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

  • :'

      bởi ❤Hoshikoyo Yuri❤ 23/08/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12