Bài tập 41 trang 27 SGK Toán 9 Tập 2

Giải bài 41 tr 27 sách GK Toán lớp 9 Tập 2

Giải các hệ phương trình sau:

\(\left\{ \matrix{
x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr
\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{
{{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\)

QUẢNG CÁO

Hướng dẫn giải chi tiết

Hướng dẫn giải

a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp cộng đại số.

Lời giải chi tiết

\(\left\{ \matrix{
x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1(1) \hfill \cr
\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1(2) \hfill \cr} \right.\)

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ (1) ta có \(x = \displaystyle{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}(3)\)

Thế (3) vào (2), ta được:

\(\eqalign{
& \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}} \right] + y\sqrt 5 = 1 \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + \left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 5y = \sqrt 5 \cr
& \Leftrightarrow - 2y + 5y = \sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 \cr&\Leftrightarrow y = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3} \cr} \)

Thế y vừa tìm được vào (3), ta được:

\(\begin{array}{l}
x = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \right) + 3}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 + \sqrt {15} + 3 - \sqrt 3 + 3}}{{3\sqrt 5 }}\\
= \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt {15} + 5}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 \left( {1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3}
\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\displaystyle\left( {{{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1} \over 3};{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3}} \right)\)

Giải hệ phương trình: (I)

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1\end{array} \right.\)

Điều kiện: \(\displaystyle x \ne - 1;y \ne - 1\)

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt \(\displaystyle u = {x \over {x + 1}};v = {y \over {y + 1}}\)

Thay vào hệ (I), ta có hệ mới với ẩn là \(\displaystyle u\) và \(\displaystyle v\) ta được:

\(\displaystyle \left\{ \matrix{
2u + v = \sqrt 2 \,\,(1') \hfill \cr
u + 3v = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2u + v = \sqrt 2 (3) \hfill \cr
- 2u - 6v = 2(4) \hfill \cr} \right.\)

Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được: \(\displaystyle - 5{\rm{v}} = 2 + \sqrt 2 \Leftrightarrow v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\)

Thay \(\displaystyle v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\) vào (1’), ta được:

\(\displaystyle 2u + v = \sqrt 2 \Leftrightarrow 2u = -v+\sqrt 2\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2 } \over 5} + \sqrt 2 \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2 + 5\sqrt 2 } \over 5} = {{2 + 6\sqrt 2 } \over 5}\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow u = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}\)

Với giá trị của \(\displaystyle u,v\) vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm \(\displaystyle x, y\).

Ta có:

\(\displaystyle \left\{ \matrix{
{x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr
{y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \left( {x + 1} \right).\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right) \hfill \cr
y = \left( {y + 1} \right).{{{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5}} \hfill \cr} \right.\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5{\rm{x}} = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 2 } \right) \hfill \cr
5y = \left( {y + 1} \right)\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) \hfill \cr} \right.\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x = x\left( {3\sqrt 2 + 1} \right) + 3\sqrt 2 + 1\\
5y = y\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) - 2 - \sqrt 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x - \left( {3\sqrt 2 + 1} \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\
5y - \left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\
\left( {7 + \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr
y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{\left( {3\sqrt 2 + 1} \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}\\
y = \dfrac{{\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {7 + \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2}\,(tmđk)\\
y = \dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}\,(tmđk)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\displaystyle \left( {\dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}} \right)\)

-- Mod Toán 9 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 41 trang 27 SGK Toán 9 Tập 2 HAY thì click chia sẻ