Bài tập III.1 trang 16 SBT Toán 9 Tập 2

1.Cho n là số nguyên dương,biết rằng 2n+1 và 3n+1 là 2 số chính phương.Cm \(n⋮40\)

2.Tìm số nguyên tố p để \(1+p+p^2+p^3+p^4\) là số chính phương

3.Cmr nếu n+1 và 2n+1 đều là số chính phương thì \(n⋮24\)

Cho tam giác ABC vuông tại A , tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt BC tại D . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB;AC. Đặt AC = a , AB = c , BC= a, AD = d

a , Chứng minh : \(\dfrac{\sqrt{2}}{d}\) = \(\dfrac{1}{b}\) + \(\dfrac{1}{c}\)

b , Chứng minh : \(\dfrac{1}{sin\dfrac{A}{2}}\) + \(\dfrac{1}{sin\dfrac{B}{2}}\)+ \(\dfrac{1}{sin\dfrac{C}{2}}\) > 6

Giải PT:

\(2x^2-8x-3\sqrt{x^2-4x-8}=18\)

Mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 250m. Nếu chiều dài giảm đi 3 lần và chiều rộng tăng lên 2 lần thì chu vi không thay đổi. Tính diện tích mảnh vườn?

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A,B Gọi M là điểm tùy ý trên AB nằm ngoài AB. Vẽ qua M 2 cát tuyến MCD và MC'D' với (O) , (O') Chứng minh CDD'C' nội tiếp
Helpppp ;; ;;

\(x^2+y^2=1\) Chứng minh rằng -5\(\le3x+4y\le5\)

cho a,b.c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3

CMR \(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}>\dfrac{2018}{2003}\)

Cho \(n\in N\)và \(a+b>0\). Chứng minh rằng \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n\le\dfrac{a^n+b^n}{2}\)

cho x >0 thõa mãn \(x^2\)+ \(\dfrac{1}{x^2}\)= 7. Cmr:

\(x^5\)+\(\dfrac{1}{x^5}\) là một số nguyên. Tìm số nguyên đó.

Giúp Vy với ạ ^^

Cho các số thực dương x, y thoả mãn x + y = 2. Chứng minh rằng :

\(\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+x^2}\ge1\)

❤❤❤

Cho a,b,c >0 và a² + b² + c² = 3 CMR :

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)

ADIE là một hình thoi chồng lên một hình tam giác. Nếu AB = 3 cm, AC = 5 cm vậy tỉ số BD:EC là...

Giải phương trình:

\(\left(2x^2-3x-1\right)^3-\left(x^2-2\right)^3-\left(x^2-3x+1\right)^3=0\)

Cho \(x;y;z\in Z^+.\)C/m: \(\sqrt{\dfrac{x}{y+z+2x}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x+2y}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y+2z}}\le\dfrac{3}{2}\)

cho x,y,z > 0 và x+y+z=1

cmr: \(x+y\ge16xyz\)

cho \(a,b,c\ge0\)và a+b+c=1.

cmr: \(a+2b+c\ge4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết CH = 9 cm, BH = 4 cm. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC và E là giao điểm của hai tia CA và DB. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt đường thẳng BC tại F và cắt đường thẳng AB tại G. Qua C kẻ đường thẳng song song với AG cắt đường thẳng AD tại K.
a) Tính độ dài đường cao AH và cạnh AB của tam giác ABC
b) Chứng minh AC^2 = CH.HB + AH.HK
​c) Chứng minh FA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Cho a,c,b dương t/m a+b+c+ab+bc+ac = 6abc

CM: \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge3\)

Gỉai hệ phương trình sau đây :

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{24}\\\dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{2y}=0\end{matrix}\right.\)

Cho hệ phương trình :

\(\left\{{}\begin{matrix}x+ay=2\\ax-2y=1\end{matrix}\right.\)

Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất ( x ; y ) thỏa mãn x > 0 , y > 0 .

HELP ME !!!!!

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực khác không x, y ta có:

\({x^2\over y^2} + {y^2\over x^2} + 4 ≥ 3({x\over y} + {y\over x})\)

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực x,y ta có:

\(xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36>0\)

Bài 3: Cho x,y,z thuộc R. Chứng minh rằng:

\(1019x^2+18y^4+1007z^2\geq 30xy^2+6y^2z+2008zx\)

Bài 4: Cho a,b>=4. Chứng minh rằng: \(a^2+b^2+ab>=6(a+b)\)

Bài 5:Cho x,y>=1. Chứng minh rằng: \(x\sqrt {y-1}+y \sqrt {x-1} \leq xy\)

Bài 6: Cho x,y>=1. Chứng minh rằng: \({1\over 1+x^2}+{1\over 1+y^2}\geq {2\over 1+xy}\)

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta có:

\(2(a^4+b^4)\geq ab^3+a^3b+2a^2b^2\)

Bài 8: Cho hai số thực x,y khác không. Chứng minh rằng:

\({4x^2y^2\over (x^2+y^2)^2}+{x^2\over y^2}+{y^2\over x^2}\geq 3\)

Bài 9: Cho các số thực a,b cùng dấu. Chứng minh bất đẳng thức:

\(({(a^2+b^2)\over 2})^3\leq({(a^3+b^3)\over 2})^2\)

Bài 10: Cho các số thực dương a,b. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

\({a^2b\over(2a^3+b^3)}+{2\over 3} \leq {(a^2+2ab)\over (2a^2+b^2)}\)

Bài 11: Cho các số thực a,b không đồng thời bằng 0. Chứng minh:

\({2ab\over (a^2+4b^2)}+{b^2\over (3a^2+2b^2)}\leq {3\over 5}\)

@Akai Haruma

cho đường tròn tam (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H . Gọi E và F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến BC,AC. Gọi ( I),(K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE , HCF . Chứng minh EF³=BE.CF.BC

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. CMR:

\(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\)

Cho hai số dương x,y. Chứng minh: \(\dfrac{1}{\left(1+x\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\dfrac{1}{1+xy}\)

cho ΔABC, Â=90*, AH ⊥ BC (H∈BC), cm:
a) AB.AC = BC.AH

b) AH² = BH.CH

Chứng minh các đẳng thức:

a) \(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)=1

b)\(\dfrac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\)-1 =0

c) \(\sqrt{26+15\sqrt{3}}+\sqrt{26-15\sqrt{3}}-5\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)

Cho a,b là các số dương . CMR : (1+a)(1+b) \(\ge\) (1+\(\sqrt{ab}\) )²

Dấu = xảy ra khi nào ?

Cho a,b,c là các số thực dương.CMR:

(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\(\le\)abc

Bài 1:Cho các số dương x, y , z thỏa mãn : x\(^2\)+y\(^2\)+z\(^2\)≥1. CMR: \(\dfrac{x^3}{y}\)+\(\dfrac{y^3}{z}\)+\(\dfrac{z^3}{x}\)≥1

Bài 2: Cho xyz=1 va5 x+y+z = 3 . Tìm min của B= x\(^{16}\)+\(y^{16}\)+\(z^{16}\)

Bài 3: a,Cho ba số dương a , b ,c sao cho a+b+c =3 . cm

\(\dfrac{a}{b^3+ab}+\dfrac{b}{c^3+bc}+\dfrac{c}{a^3+bc}\) ≥ \(\dfrac{3}{2}\)

b, Cho ba số thực a, b , c không âm sao cho a+b+c=1

cm: b+c ≥ 16abc. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 4: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Đặt p = \(\dfrac{a+b+c}{2}\). Chứng minh rằng nếu \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}=\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\) thì tam giác đó là tam giác đều

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=2\\a^2+b^2+c^2=2\end{matrix}\right.\)

Chứng minh rằng: \(a\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}+b\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}+c\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{1+c^2}}=2\)

​Cho nửa đường tròn (o) , đường kính AB=2R. M là 1 điểm tùy ý trên đường tròn

(\(M\ne AB\)) . Kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn . Qua M kẻ tiếp tuyến thứ 3 lần lượt cắt Ax , By tại C và D

a) c/m : CD = AC+BD

b) c/m : \(\widehat{COD}=90^o\)

c) c/m : \(AC.BD=ER^2\)

d) Gọi E là giao điểm của OC và AM

F là giao điểm của OD và MB

c/m : EF=R

e) Tìm vị trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất

g) tìm vị trí của M để chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất

​

Trong tam giác ABC lấy điểm O lên AB, AC

a, chứng minh OB.OK=OH.OC

b, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác MHK là tam giác cân