Bài tập 2 trang 30 SGK Giải tích 12

Trước khi giải bài 2 ta cùng nhắc lại về điều kiện sự tồn tại tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b\)
•  \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b\)

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• \(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\)
• \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty\)

Với hàm số \(y=f(x) = \frac{{h(x)}}{{g(x)}}\)  để tìm tiệm cận đứng ta tiến hành giải phương trình g(x) = 0. Giả sử nếu x₀ là nghiệm của phương trình g(x) = 0, nếu h(x₀) khác 0, thì đường thẳng x = x₀ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x). 

Lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 2 như sau:

Câu a:

\(\lim_{x\rightarrow (-3)^-}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\);\(\lim_{x\rightarrow (-3)^+}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\) 

nên đường thẳng x = -3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim_{x\rightarrow 3^-}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\);

\(\lim_{x\rightarrow 3^+}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\) nên đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\);

\(\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\) nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu b:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty ;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty ;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty\)

Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: \(x=-1;x=\frac{3}{5}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5};\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5}\)

Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=-\frac{1}{5}\).

Câu c:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty ;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ +}} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty\) nên đường thẳng x = -1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^2(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}})}{x(1+\frac{1}{x})}=-\infty\) và \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+\infty\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Câu d:

Hàm số xác định khi: \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \sqrt{x}-1\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.\)

Vì \(\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty\)

(hoặc \(\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty\) ) nên đường thẳng x = 1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì \(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}(1-\frac{1}{\sqrt{x}})}=1\) 

nên đường thẳng y = 1 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

-- Mod Toán 12 HỌC247