Giải bài tập SGK Bài 3 Chương 6 Toán 10 Cơ bản & Nâng cao

Tính

a) \(cos225^0 , sin240^0 , cot(-15^0 ), tan 75^0\);

b) \(sin \frac{7x}{12}, cos\left ( -\frac{\pi}{12} \right ),tan\left ( \frac{13\pi}{12} \right )\)

Tính

a)  \(cos(\alpha +\frac{\pi }{3})\), biết \(sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)

b)   \(tan(\alpha -\frac{\pi }{4})\), biết \(cos\alpha = -\frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)

c) \(cos(a + b), sin(a - b),\) biết \(sina = \frac{4}{5}\), \(0^0 < a < 90^0\) và \(b=\frac{2}{3}, 90^0 < b < 180^0\)

Rút gọn các biểu thức

a) \(sin(a + b) + sin(\frac{\pi}{2}- a)sin(-b)\)  

b) \(cos(\frac{\pi}{4} + a)cos(\frac{\pi }{4}- a) + sin^2a\)\(cos( \frac{\pi}{4}+ a)cos(\frac{\pi}{4} - a) + \frac{1}{2} sin^2a\)

c) \(cos(\frac{\pi}{2} - a)sin(\frac{\pi }{2} - b) - sin(a - b)\)\(cos(\frac{\pi}{2} - a)sin(\frac{\pi}{2} - b) - sin(a - b)\)

Chứng minh các đẳng thức

a) \(\frac{cos(a-b)}{cos(a+b)}=\frac{cotacotb+1}{cotacotb-1}\)

b) \(sin(a + b)sin(a - b) = sin^2a - sin^2b = cos^2b - cos^2a\)

c) \(cos(a + b)cos(a - b) = cos^2a - sin^2b = cos^2b -sin^2a\)

Tính \(sin2a, cos2a, tan2a\), biết:

a) \(sina = -0,6\) và \(\pi < a < \frac{3\pi }{2}\);

b) \(cosa = -\frac{5}{13}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi\)

c)  \(sina + cosa = \frac{1 }{2}\) và \(\frac{3\pi }{4} < a < \pi\)

Cho sin \(2a = -\frac{5}{9}\) và \(\frac{\pi}{2} < a < \pi .\)

Tính \(sina\) và \(cosa\).

Biến đổi thành tích các biểu thức sau

a) \(1 - sinx;\)                  b) \(1 + sinx;\)

c) \(1 + 2cosx;\)               d) \(1 - 2sinx\)

Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{sinx + sin3x + sin5x}}{{cosx + cos3x + cos5x}}\)

Cho \(\cos \alpha  = \frac{1}{3}\), tính \(\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{6}} \right) - \cos \left( {\alpha  - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)

Cho \(\sin \alpha  = \frac{8}{{17}},\sin \beta  = \frac{{15}}{{17}}\) với \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2},0 < \beta  < \frac{\pi }{2}\). Chứng minh rằng \(\alpha  + \beta  = \frac{\pi }{2}\)

Chứng minh rằng các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc α, β

a) \(\sin 6\alpha \cot 3\alpha  - \cos 6\alpha\);

b) \({\left[ {\tan \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) - \cot \left( {{{90}^0} + \alpha } \right)} \right]^2} - {\left[ {\cot \left( {{{180}^0} + \alpha } \right) + \cot \left( {{{270}^0} + \alpha } \right)} \right]^2}\);

c) \(\left( {\tan \alpha  - \tan \beta } \right)\cot \left( {\alpha  - \beta } \right) - \tan \alpha \tan \beta\);

d) \(\left( {\cot \frac{\alpha }{3} - \tan \frac{\alpha }{3}} \right).\tan \frac{{2\alpha }}{3}\)

Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = AD. Biết tanBDC = \(\frac{3}{4}\), tính các giá trị lượng giác của BAD.

Nếu \(\sin \alpha  = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\) thì cos2α bằng

A. 0,5                  B. -0,25

C. \(\frac{3}{{\sqrt 5 }}\)                  D. -0,6

Biết sina + cosa = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Giá trị sin2a là

A. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(\frac{2}{3}\)

C. \(\frac{{ - 1}}{2}\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{{3\pi }}{4}\). Giá trị \(\tan 2\alpha \) là

A. \( - 2\sqrt 7 \)

B. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)

C. \( -3\sqrt 7 \)

D. \( 3\sqrt 7 \)

Cho \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\). Biểu thức \(S = \frac{{\sin 4\alpha  - 2\sin 2\alpha }}{{\sin 4\alpha  + 2\sin 2\alpha }}\) có thể rút gọn thành biểu thức nào sau đây?

A. - tan²α                   B. tanα

C. cot²α                     D. cotα

Cho \(\tan 2\alpha  = \frac{4}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \). Giá trị \(\cos \alpha \) là

A. \(\frac{{ - \sqrt 5 }}{5}\) hoặc \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

B. \(\frac{{ - \sqrt 5 }}{5}\)

C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\) hoặc \(\frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5}\)

D. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\)

 Biết \(\sin a =  - \frac{4}{5}\) với \(\frac{{3\pi }}{4} < a < \pi \). Giá trị tan a là

A. \(\frac{1}{2}\)          B. 2

C. - 2          D. \(-\frac{1}{2}\) 

Cho tanα = 2cotα và \(\frac{{3\pi }}{2}\) < α < 2π. Giá trị của biểu thức sinα + cosα là

A. \(\frac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\frac{{\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{3}\)

C. \(\frac{{2 - \sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\frac{{2 + \sqrt 3 }}{3}\)

Biết sinα - cosα = \(\frac{1}{2}\) và π < α < \(\frac{{5\pi }}{4}\). Giá trị cot2α là

A. \(\frac{{ - \sqrt 7 }}{3}\)

B. \(\frac{{1 - \sqrt 5 }}{3}\)

C. \(\frac{{2 - \sqrt 7 }}{3}\)

D. \(\frac{{\sqrt 7 }}{3}\)

Hỏi mỗi khẳng định sau đây có đúng không? ∀α,∀β ta có:

\(\begin{array}{l}
a)\,2\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \cos \alpha  + \cos \beta \\
b)\,\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \sin \alpha  - \sin \beta \\
c)\,\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha .\cos \beta  + \cos \alpha .\sin \beta \\
d)\,\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = \cos \alpha .\cos \beta  - \sin \alpha .\sin \beta \\
e)\,\frac{{\sin 4\alpha }}{{\cos 2\alpha }} = \tan 2\alpha \\
f)\,{\sin ^2}\alpha  = \sin 2\alpha 
\end{array}\)

Sử dụng 75⁰ = 45⁰ + 30⁰, hãy tính giá trị lượng giác của góc 75⁰

Sử dụng 15⁰ = 45⁰ - 30⁰, hãy tính giá trị lượng giác của góc 15⁰. (đối chiếu với kết quả bài tập 29)

Chứng minh rằng:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right)}\\
{b){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sin \alpha  - \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{4}} \right)}\\
\begin{array}{l}
c){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{1 - \tan \alpha }}{{1 + \tan \alpha }}\\
\left( {\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;\alpha  \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
d){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \tan \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right) = \frac{{1 + \tan \alpha }}{{1 - \tan \alpha }}\\
\left( {\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;\alpha  \ne \frac{\pi }{4} + k\pi } \right)
\end{array}
\end{array}\)

a) Biết \(\sin \alpha  = \frac{1}{3};\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Hãy tính giá trị lượng của góc \(2\alpha \) và góc \(\frac{\alpha }{2}\)

b) Sử dụng \({15^0} = \frac{{{{30}^0}}}{2}\), hãy kiểm nghiệm lại kết quả của bài tập 39.

Chứng minh rằng:

a) \(\sin \frac{{11\pi }}{{12}}{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{4}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\)

b) \({\rm{cos}}\frac{\pi }{7}{\rm{cos}}\frac{{3\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{7} =  - \frac{1}{8}\)

c) \(\sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^2}\sin {78^0} = \frac{1}{16}\)

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)\cos {{75}^0}\cos {{15}^0} = \sin {{75}^0}\sin {{15}^0} = \frac{1}{4}}\\
{b)\cos {{75}^0}\sin {{15}^0} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}}\\
{c)\sin {{75}^0}\cos {{15}^0} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}}\\
\begin{array}{l}
d)\cos \alpha \sin \left( {\beta  - \gamma } \right) + \cos \beta \sin \left( {\gamma  - \alpha } \right)\\
 + \cos \gamma \sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = 0,\forall \alpha ,\beta ,\gamma 
\end{array}
\end{array}\)

Đơn giản các biểu thức sau:

a) \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\)

b) \({\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right) - {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\)

Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{\sin \alpha  - \sin \beta }}{{\cos \alpha  - \cos \beta }} =  - \sqrt 3\)

nếu \(\left\{ \begin{array}{l}
\alpha  + \beta  = \frac{\pi }{3}\\
\cos \alpha  \ne \cos \beta 
\end{array} \right.\)

b) \(\frac{{\cos \alpha  - \cos 7\alpha }}{{\sin 7\alpha  - \sin \alpha }} = \tan 4\alpha \)

(khi các biểu thức có nghĩa)

Chứng minh rằng:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a)\sin 3\alpha  = 3\sin \alpha  - 4{\sin ^3}\alpha ;\\
\cos 3\alpha  = 4{\cos ^3}\alpha  - 3\cos \alpha 
\end{array}\\
\begin{array}{l}
b)\sin \alpha \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right)\\
 = \frac{1}{4}\sin 3\alpha 
\end{array}\\
\begin{array}{l}
{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \cos \alpha \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right)\\
 = \frac{1}{4}\cos 3\alpha 
\end{array}
\end{array}\)

Ứng dụng: Tính sin 20⁰ sin 40⁰ sin 80⁰ và tan 20⁰ tan 40⁰ tan 80⁰

Chứng minh rồi dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số để kiểm nghiệm lại gần đúng kết quả.

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a)\cos {10^0}\cos {50^0}\cos {70^0}\\
 = \sin {20^0}\sin {40^0}\sin {80^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
b)\sin {10^0}\sin {50^0}\sin {70^0}\\
 = \cos {20^0}\cos {40^0}\cos {80^0} = \frac{1}{8}
\end{array}
\end{array}\)

Chứng minh rằng: \(\cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7} =  - \frac{1}{2}\)

Hướng dẫn: Nhân vế trái với \(\frac{\pi }{7}\) (hoặc \(\frac{2\pi }{7}\)) rồi sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a){\cos ^2}\left( {\alpha  + x} \right) + {\cos ^2}x\\
 - 2\cos \alpha \cos x.\cos \left( {\alpha  + x} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
b)\sin 4x.\sin 10x - \sin 11x.\sin 3x\\
 - \sin 7x.{\rm{sinx}}
\end{array}
\end{array}\)

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

a) sin A = cos B + cos C thì tam giác ABC vuông

b) sin A =  2sin B.cos C thì tam giác ABC cân

Chứng minh rằng nếu \(\alpha  + \beta  + \gamma  = \pi \) thì:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a)\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma \\
 = 4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
b)\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma \\
 = 1 + 4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
c)\sin 2\alpha  + \sin 2\beta  + \sin 2\gamma \\
 = 4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma 
\end{array}\\
\begin{array}{l}
d){\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma \\
 = 1 - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma 
\end{array}
\end{array}\)

a) Chứng minh rằng nếu ∝ và β khác \(\frac{\pi }{2} + k\pi \) (k ∈ Z) thì:     

\(\left\{ \begin{array}{l}
\tan \alpha  + \tan \beta  = \frac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cos \beta }}\\
\tan \alpha  - \tan \beta  = \frac{{\sin \left( {\alpha  - \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cos \beta }}
\end{array} \right.\)

b) Chứng minh rằng với mọi ∝ mà cos k∝ ≠ 0 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) và sin ∝ ≠ 0 thì:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{\cos \alpha \cos 2\alpha }} + \frac{1}{{\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} + ... + \\
\frac{1}{{\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} = \frac{{\tan 8\alpha  - \tan \alpha }}{{\sin \alpha }}
\end{array}\)

Biết cosα +cosβ = a; sinα+sinβ = b (a,b là hằng số và a² + b² ≠ 0)

Hãy tính sin(α + β) theo a và b

Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O, với vận tốc ban đầu là v(m/s) theo phương hợp với trục hoành (nằm ngang) Ox một góc α ,\(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) là parabol có phương trình :

\(y =  - \frac{g}{{2{v^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{x^2} + \left( {\tan \alpha } \right)x\)                                                    

Trong đó g là gia tốc trọng trường (g ≈ 9,8m/s2) (giả sử lực cản của không khí là không đáng kể).

Gọi tầm xa của quỹ đạo là khoảng cách từ O đến giao điểm khác O của quỹ đạo với Ox.

a) Tính tầm xa theo α (và v)

b) Khi v không đổi, α thay đổi trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), hỏi giá trị α nào thì tầm xa của quỹ đạo đạt được giá trị lớn nhất? Tính giá trị đó theo v. Khi v = 80m/s. Hãy tính giá trị lớn nhất đó (chính xác đến hàng đơn vị).