Giải bài tập SGK Bài 3 Chương 3 Hình học 10 Cơ bản & Nâng cao

Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:

a) \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\) 

b) \(4x^2 + 9y^2 = 1\)

c) \(4x^2 + 9y^2 = 36\)

Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a)  Trục lớn và trục nhỏ lần lươt  là 8 và 6

b) Trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6

Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Elip đi qua các điểm M(0;3) và \(N(3;-\frac{12}{5})\)
b) Elip có một tiêu điểm là \(F_1(-\sqrt{3};0)\) và điểm \(M(1;\frac{\sqrt{3}}{2})\) nằm trên elip.

Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có các trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40cm, người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Cho hai đường tròn \(C_1(F_1; R_1)\) và \(C_2(F_2; R_2).C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1 \neq F_2\). Đường tròn (C) thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với  \(C_2\). Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn (C) di động trên một elip.

Viết phương trình elip trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16 ;

b) Một tiêu điểm là (12;0) và điểm (13; 0) nằm trên elip.

Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip có phương trình sau:

a) 4x² + 9y² = 36;

b) x2 + 4y² = 4.

Cho đường tròn tâm C(F₁; 2a) cố định và một điểm F₂ cố định nằm trong (C₁).

Xét đường tròn di động (C) có tâm M. Cho biết (C) luôn đi qua F₂ và (C) luôn tiếp xúc với (C₁). Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; y) di động có tọa độ thỏa mãn

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 7\cot t\\
y = 5\sin t
\end{array} \right.\)

trong đó t là tham số. Hãy chững tỏ M đi động trên một elip.

Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số \(\frac{c}{a}\) bằng \(\frac{5}{{13}}\) ;

b) Tiêu điểm F₁(-6; 0) và tỉ số \(\frac{c}{a}\) bằng \(\frac{2}{3}\).

Viết phương trình chính tắc của elip (E) F₁ và F₂ biết:

a) (E) đi qua hai điểm \(M\left( {4;\frac{9}{5}} \right)\) và \(N\left( {3;\frac{{12}}{5}} \right)\);

b) (E) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác MF₁F₂ vuông tại M.

Cho elip (E): 9x² + 25y² = 225

a) Tìm tọa độ hai điểm F₁, F₂ và các đỉnh của (E).

b) Tìm M ∈ (E) sao cho M nhìn F₁, F₂ dưới một góc vuông.

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\left( {0 < b < a} \right)\). Tính tỉ số: \(\frac{c}{a}\) trong các trường hợp sau:

a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;

b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiểu điểm dưới một góc vuông ;

c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

Cho elip (E): 4x² + 9y² = 36 và điểm M(1; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Cho elip (E) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Tiêu cự của (E) là 2c, trong đó c² = a²−b².

b) (E) có độ dài trục lớn bằng 2a, độ dài trục bé bằng 2b,

c) (E) có tâm sai \(e =  - \frac{c}{a}\)

d) Tọa độ các tiêu điểm của (E) là F₁ = (−c;0), F₂ = (c;0).

e) Điểm (b;0) là một đỉnh của (E).

Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé của mỗi elip có phương trình sau 

a) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);

b) \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

c) \({x^2} + 4{y^2} = 4\)

Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau

a. (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai \(e = {{\sqrt 3 } \over 2};\)

b. (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4

c. (E) có một tiêu điểm là \(F(\sqrt 3 ;0)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right).\)

Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).

a) Tính độ dài dây cung của (E) đi qua một tiêu điểm và vuông góc với trục tiêu (đoạn thẳng nối hai điểm của elip gọi là dây cung của elip, trục chứa các tiêu điểm gọi là trục tiêu của elip).

b) Tìm trên (E) điểm M sao cho MF₁ = 2MF₂, trong đó F₁, F₂ lần lượt là các tiêu điểm của (E) nằm bên trái và bên phải trục tung.

Vệ tinh nhân tạo đầu tiên được Liên Xô (cũ) phóng từ Trái đất năm 1957. Quỹ đạo của vệ tinh đó là một đường elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Người ta đo được vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm (1 dặm ≈ 1,609km). Tìm tâm sai của quỹ đạo đó biết bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A chạy trên trục Ox, điểm B chạy trên trục Oy nhưng độ dài đoạn AB bằng a không đổi. Tìm tập hợp các điểm M thuộc đoạn AB sao cho MB = 2MA.