OPTADS360
AANETWORK
LAVA
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Toán 10 Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn


Bất phương trình là một khái niệm mà các em đã được tiếp cận từ những lớp nhỏ. Thông qua bài học này các em sẽ được ôn tập và tìm hiểu thêm một số phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn.

ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 
 
 

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Giải và biện luận bất phương trình dạng \(ax + b < 0\).

Giải bất phương trình dạng \(ax + b < 0\) (1)

  • Nếu \(a = 0\) thì bất phương trình có dạng \(0.x + b < 0\)

- Với \(b < 0\) thì tập nghiệm BPT là S = Æ

- Với \(b \ge 0\) thì tập nghiệm BPT là \({\rm{S}} = \mathbb{R}\)

  • Nếu \(a > 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x <  - \frac{b}{a}\) suy ra tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right)\)
  • Nếu \(a < 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x >  - \frac{b}{a}\) suy ra tập nghiệm là \(S = \left( { - \frac{b}{a}; + \infty } \right)\)

Các bất phương trình dạng \(ax + b > 0,\,\,ax + b \le 0,\,\,ax + b \ge 0\) được giải hoàn toán tương tự

1.2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.

ADMICRO

Bài tập minh họa

DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG \(ax + b < 0\)

Ví dụ:

Biện luận nghiệm của bất phương trình theo m:

a) \(mx + 6 \le 2x + 3m\)

b)  \(\left( {x + m} \right)m + x > 3x + 4\)

c) \(\left( {{m^2} + 9} \right)x + 3 \ge m\left( {1 - 6x} \right)\)

Hướng dẫn:

a) Bất phương trình tương đương với \(\left( {m - 2} \right)x < 3m - 6\)

Với \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(0x \le 0\)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

Với \(m > 2\) bât phương trình tương đương với \(x < \frac{{3m - 6}}{{m - 2}} = 3\)

Với \(m < 2\) bât phương trình tương đương với \(x > \frac{{3m - 6}}{{m - 2}} = 3\)

Kết luận

\(m = 2\) bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\)(có tập nghiệm là \(S = \mathbb{R}\)).

\(m > 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x < 3\)(có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;3} \right)\))

\(m < 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x > 3\)(có tập nghiệm là \(S = \left( {3; + \infty } \right)\))

b) Bất phương trình tương đương với \(\left( {m - 2} \right)x > 4 - {m^2}\)

Với \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(0x > 0\)suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Với \(m > 2\) bât phương trình tương đương với \(x > \frac{{4 - {m^2}}}{{m - 2}} =  - m - 2\)

Với \(m < 2\) bât phương trình tương đương với \(x < \frac{{4 - {m^2}}}{{m - 2}} =  - m - 2\)

Kết luận

\(m = 2\) bất phương trình vô nghiệm

\(m > 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x >  - m - 2\)

\(m < 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x <  - m - 2\)

c) Bất phương trình tương đương với \({\left( {m + 3} \right)^2}x \ge m - 3\)

Với \(m =  - 3\) bất phương trình trở thành \(0x \ge  - 6\)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

Với \(m \ne  - 3\) bât phương trình tương đương với \(x \ge \frac{{m - 3}}{{{{\left( {m + 3} \right)}^2}}}\)

Kết luận

\(m =  - 3\) bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

\(m \ne  - 3\) bât phương trình có nghiệm là \(x \ge \frac{{m - 3}}{{{{\left( {m + 3} \right)}^2}}}\).

DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Ví dụ 1:

Giải các hệ bất phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2 > 4x + 5\\5x - 4 < x + 2\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}6x + \frac{5}{7} < 4x + 7\\\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 2x - 3\\3x < x + 5\\\frac{{5 - 3x}}{2} \le x - 3\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Hệ bất phương trình tương đương với

\(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2 > 4x + 5\\5x - 4 < x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 7\\x < \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.

b) Hệ bất phương trình tương đương với

\(\left\{ \begin{array}{l}6x + \frac{5}{7} < 4x + 7\\\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \frac{{22}}{7}\\x < \frac{7}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x < \frac{7}{4}\)

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là \(x < \frac{7}{4}\)

d) Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < \frac{5}{2}\\x \ge \frac{{11}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{11}}{5} \le x \le \frac{5}{2}\)

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là  \(\frac{{11}}{5} \le x \le \frac{5}{2}\).

Ví dụ 2:

Tìm \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m\left( {mx - 1} \right) < 2}\\{m\left( {mx - 2} \right) \ge 2m + 1}\end{array}} \right.\) có nghiệm.

Hướng dẫn:

Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}x < m + 2}\\{{m^2}x \ge 4m + 1}\end{array}} \right.\)

Với \(m = 0\) ta có hệ bất phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0x < 2}\\{0x \ge 1}\end{array}} \right.\) suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm

Với \(m \ne 0\) ta có hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < \frac{{m + 2}}{{{m^2}}}}\\{x \ge \frac{{4m + 1}}{{{m^2}}}}\end{array}} \right.\)

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{{m + 2}}{{{m^2}}} > \frac{{4m + 1}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}\)

Vậy \(m < \frac{1}{3}\) là giá trị cần tìm.

DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

Ví dụ:

Cho bất phương trình  \(\sqrt {x - 1} (x - 2m + 2) \ge 0\)

a) Giải bất phương trình khi \(m = 2\)

b) Tìm \(m\) để mọi \(x \in \left[ {2;3} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn:

a) Khi \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(\sqrt {x - 1} (x - 2) \ge 0\)

Bất phương trình tương đương với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 1}  = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ 1 \right\} \cup {\rm{[}}2; + \infty )\).

b) Bất phương trình tương đương với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 1}  = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2m + 2 \ge 0\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge 2m - 2\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)

+ TH1: \(2m - 2 > 1 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 2m - 2}\end{array}} \right.\)

Suy ra tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\} \cup [2m - 2; + \infty )\).

Do đó mọi \(x \in \left[ {2;3} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình (*)

\( \Leftrightarrow \left[ {2;3} \right] \subset S \Leftrightarrow 2m - 2 \le 2 \Leftrightarrow m \le 2\)

Suy ra \(\frac{3}{2} < m \le 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH2: \(2m - 2 = 1 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 1} \right.\)

Suy ra \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH3: \(2m - 2 < 1 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 1} \right.\)

Suy ra \(m < \frac{3}{2}\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy giá trị cần tìm là \(m \le 2\).

ADMICRO

3. Luyện tập Bài 2 chương 4 đại số 10

Trong phạm vi bài học HỌC247 giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 

3.1. Trắc nghiệm về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2. Bài tập SGK và Nâng Cao về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chương 4 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 87 SGK Đại số 10

Bài tập 2 trang 88 SGK Đại số 10

Bài tập 3 trang 88 SGK Đại số 10

Bài tập 4 trang 88 SGK Đại số 10

Bài tập 5 trang 88 SGK Đại số 10

Bài tập 4.19 trang 107 SBT Toán 10

Bài tập 4.20 trang 107 SBT Toán 10

Bài tập 4.21 trang 108 SBT Toán 10

Bài tập 4.22 trang 108 SBT Toán 10

Bài tập 4.23 trang 108 SBT Toán 10

Bài tập 4.24 trang 108 SBT Toán 10

Bài tập 4.25 trang 108 SBT Toán 10

Bài tập 4.26 trang 108 SBT Toán 10

Bài tập 4.27 trang 109 SBT Toán 10

Bài tập 4.28 trang 109 SBT Toán 10

Bài tập 4.29 trang 109 SBT Toán 10

Bài tập 4.30 trang 109 SBT Toán 10

Bài tập 4.31 trang 109 SBT Toán 10

Bài tập 4.32 trang 109 SBT Toán 10

Bài tập 4.33 trang 110 SBT Toán 10

Bài tập 21 trang 116 SGK Toán 10 NC

Bài tập 22 trang 116 SGK Toán 10 NC

Bài tập 23 trang 116 SGK Toán 10 NC

Bài tập 24 trang 116 SGK Toán 10 NC

Bài tập 25 trang 121 SGK Toán 10 NC

Bài tập 26 trang 121 SGK Toán 10 NC

Bài tập 27 trang 121 SGK Toán 10 NC

Bài tập 28 trang 121 SGK Toán 10 NC

Bài tập 29 trang 121 SGK Toán 10 NC

Bài tập 30 trang 121 SGK Toán 10 NC

Bài tập 31 trang 121 SGK Toán 10 NC

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 4 đại số 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 10 HỌC247

NONE
OFF