Giải bài tập SGK Bài 4 Chương 4 Toán 12 Cơ bản & Nâng cao

Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121.

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) -3z² + 2z – 1 = 0.

b) 7z² + 3z +2  = 0.          

c) 5z² - 7z + 11 = 0.

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \(\small z^4 + z^2 - 6 = 0\);                 b) \(\small z^4 + 7z^2 + 10 = 0\)

Cho \(a, b, c \in R, a \neq 0\), z₁ và z₂ là hai nghiệm của phương trình az² + bz + c = 0 

Hãy tính z₁ + z₂ và z₁ z₂ theo các hệ số a, b, c. 

Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và \(\overline z \) làm nghiệm

Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) \({2{x^2} + 3x + 4 = 0}\)

b) \({3{x^2} + 2x + 7 = 0}\)

c) \({2{x^4} + 3{x^2} - 5 = 0}\)

Biết \({{z_1}}\) và \({{z_2}}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\). Hãy tính :
a) \({z_1^2 + z_2^2}\)

b) \({z_1^3 + z_2^3}\)

c) \({z_1^4 + z_2^4}\)

d) \({\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}}\)

Chứng minh rằng hai số phức liên hợp \(z\) và \(\overline z \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Lập phương trình bậc hai có nghiệm là :
a) \({1 + i\sqrt 2 }\) và \({1 - i\sqrt 2 }\)

b) \({\sqrt 3  + 2i}\) và \({\sqrt 3  - 2i}\)

c) \({ - \sqrt 3  + i\sqrt 2 }\) và \({ - \sqrt 3  - i\sqrt 2 }\)

Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức :
a) \({{x^3} - 8 = 0}\)

b) \({{x^3} + 8 = 0}\)

Giải phương trình \({\left( {z - i} \right)^2} + 4 = 0\) trên tập số phức.

Giả sử \({z_1},{z_2} \in C\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. \({{z_1} \in R \Rightarrow {z_2} \in R}\)

B. \({z_1}\) thuần ảo \(\Rightarrow {z_2}\) thuần ảo

C. \({{z_1} = \overline {{z_2}} }\)

D. \({{z_1} \in C\backslash R \Rightarrow {z_2} \in C\backslash R}\)

Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. Số phức \(z = a + bi\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2ax + \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 0\)

B. Mọi số phức đều là nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

C. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực đều có hai nghiệm trong tập số phức C (hai nghiệm không nhất thiết phân biệt)

D. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực.

Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: −i; 4i - 4; -4; \(1 + 4\sqrt 3 i\)

Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì \(\left| z \right| = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \)

Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:

\(\begin{array}{l}
a){z^2} = z + 1\\
b){z^2} + 2z + 5 = 0\\
c){z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0
\end{array}\)

a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i)

c) Có phải mọi phương trình bậc hai z² + Bz + C = 0 (B,C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B,C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

a) Giải phương trình: (z² + i)(z² − 2iz − 1) = 0

b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai z² + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của −1 là \(\sqrt { - 1} \) và tính \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} \) như sau:

a) Theo định nghĩa căn bậc hai của −1 thì \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} \) = -1

b) Theo tính chất của căn bậc hai (tính của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó) thì \(\sqrt { - 1} .\sqrt { - 1}  = \sqrt {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)}  = \sqrt 1  = 1\)

Từ đó, học sinh đó suy ra −1 = 1

Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.

Tìm nghiệm phức phương trình \(z + \frac{1}{z} = k\) trong các trường hợp sau:

a) k = 1

b) \(k = \sqrt 2 \)

c) k = 2i

Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

\(\begin{array}{l}
a){z^3} + 1 = 0\\
b){z^4} - 1 = 0\\
c){z^4} + 4 = 0\\
d)8{z^4} + 8{z^3} = z + 1
\end{array}\)

a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z):

z² + bz + c = 0 

nhận z = 1 + i làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z):

z³ + az² + bz + c = 0

nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 là nghiệm.

a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực φ, ta có (cosφ + isinφ)²=cos2φ + isin2φ.

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức cos2φ + isin2φ. Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.

b) Tìm các căn bậc hai của \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 - i} \right)\) bằng hai cách nói ở câu a).