Bài tập 26 trang 199 SGK Toán 12 NC

a) Với mọi φ ta có: 

(cosφ + isinφ)² = cos²φ−sin²φ+(2sinφcosφ)i

= cos2φ+isin2φ

Vậy các căn bậc hai của cos2φ + isin2φ là ±(cosφ + isinφ)

Theo cách giải trong bài học, để tìm căn bậc hai của cos2φ + isin2φ ta giải hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = \cos 2\varphi \\
2xy = \sin 2\varphi 
\end{array} \right.\)

Rõ ràng hệ có các nghiệm (cosφ, sinφ), (−cosφ, −sinφ) do đó ±(cosφ + isinφ) là hai căn bậc hai của cos2φ + isin2φ. Ta biết rằng chỉ có hai căn như thế nên đó là tất cả các căn bậc hai cần tìm.

b)

\(\begin{array}{l}
\frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 - i) = \cos \frac{\pi }{4} - i\sin \frac{\pi }{4}\\
 = \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)
\end{array}\)

theo câu a, \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 - i)\) có hai căn bậc hai là:

\(\begin{array}{l}
 \pm \left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{8}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{8}} \right)} \right)\\
 =  \pm \left( {\cos \frac{\pi }{8} - i\sin \frac{\pi }{8}} \right)
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247