Giải bài tập SGK Chương V Toán 11 Cơ bản & Nâng cao

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-5\)

b) \(y=\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}+\frac{5}{x^3}-\frac{6}{7x^4}\)

c) \(y=\frac{3x^2-6x+7}{4x}\)

d) \(y=\left ( \frac{2}{x}+3x \right )(\sqrt{x}-1)\)

e) \(y=\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\)

f) \(y=\frac{-x^2+7x+5}{x^2-3x}.\)

Tính đạo hàm của các hàm số sau 

a) \(y=2\sqrt{x} .sinx-\frac{cosx}{x}\) 

b) \(y= \frac{3cosx}{2x+1}\)

c) \(y= \frac{t^2+2cost}{sin t}\) 

d) \(y=\frac{2cos\varphi -sin\varphi }{3sin\varphi +cos\varphi }\)

e) \(y=\frac{tanx}{sinx+2}\) 

f) \(y=\frac{cotx}{2\sqrt{x}-1}\)

Cho hàm số: \(f(x)=\sqrt{1+x}\). Tính \(f(3)+(x-3).f'(3).\)​

Cho hàm số \(f(x)=tan x\) và \(g(x)=\frac{1}{1-x}\). Tính \(\frac{f'(0)}{g'(0)}\).​

Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng: 

\(f(x)=3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{x^3}+5\)​

Cho \(f_1(x)=\frac{cosx}{x}, f_2(x)=xsinx.\) Tính \(\frac{f_1(1)}{f_2(1)}.\)

Viết phương trình tiếp tuyến: 

a) Của hypebol \(y=\frac{x+1}{x-1}\) tại điểm A(2;3);

b) Của đường cong \(y=x^3+4x^2-1\) tại điểm có hoành độ \(x_0=-1\)

c) Của Parabol \(y=x^2-4x+4\) tại điểm có tung độ \(y_0=1.\)

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: \(s=t^3-3t^2-9t\) trong đó t được tính bẳng giây và s được tính bằng mét.

a) Tính vận tốc của chuyển động khi t = 3s.

b) Tính gia tốc của chuyển động khi t = 3s.

c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.

d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.

Cho hai hàm số \(y=\frac{1}{x\sqrt{2}}\) và \(y=\frac{x^2}{\sqrt{2}}\)

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.

Với \(g(x)=\frac{x^2-2x+5}{x-1}; g'(2)\) bằng:

(A) 1

(B) -3

(C) -5

(D) 0

Nếu \(f(x)=sin^3x+x^2\) thì \(f''(\frac{\pi }{2})\) bằng: 

(A) 0

(B) 1

(C) -2

(D) 5

Giả sử \(h(x)=5(x+1)^3+4(x+1).\)

Tập nghiệm của phương trình h''(x) = 0 là:

(A) \([-1;2]\)

(B) \((-\infty ;0]\)

(C) \(\left \{ -1 \right \}\)

(D) \(\varnothing\)

Cho \(f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x.\)

Tập nghiệm của bất phương trình \(f'(x)\leq 0\) là:

(A) \(\varnothing\)

(B) \((0;+\infty )\)

(C) \([-2;2]\)

(D) \((-\infty ;+\infty )\)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = x{\cot ^2}x\)

b) \(y = \frac{{\sin \sqrt x }}{{\cos 3x}}\)

c) \(y = {\left( {\sin 2x + 8} \right)^3}\)

d) \(y = (2{x^3} - 5)\tan x\)

Giải phương trình \(f'\left( x \right) = g\left( x \right),\) biết rằng:

a) \(f\left( x \right) = \frac{{1 - \cos 3x}}{3};g\left( x \right) = \left( {\cos 6x - 1} \right)\cot 3x\)

b) \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos 2x;g\left( x \right) = 1 - {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2}\)

c) \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + 5\cos x;g\left( x \right) = 3{\sin ^2}x + \frac{3}{{1 + {{\tan }^2}x}}\)

Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra?

a) \(f(x) = \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1}  + 1}},f\prime (0) = ?\)

b) \(y = {(4x + 5)^2},y\prime (0) = ?\)

c) \(g(x) = \sin 4x\cos 4x,g\prime \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = ?\)

Chứng minh rằng \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in R\), nếu

a) \(f\left( x \right) = \frac{2}{3}{x^9} - {x^6} + 2{x^3} - 3{x^2} + 6x - 1\)

b) \(f(x) = 2x + \sin x\)

Xác định a để \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in R\), biết rằng \(f(x) = {x^3} + (a - 1){x^2} + 2x + 1\)

Xác định a để \(g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R\), biết rằng:

\(g(x) = \sin x - a\sin 2x - \frac{1}{3}\sin 3x + 2ax\)

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = \frac{\pi }{4}\)

Trên đường cong \(y = 4{x^2} - 6x + 3\), hãy tìm điểm tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\sin 3x\) cắt trục hoành tại gốc tọa độ dưới một góc bao nhiêu độ (góc giữa trục hoành và tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm)?

Cho các hàm số

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d;\,\,\,\left( C \right)\\
g\left( x \right) = {x^2} - 3x - 1
\end{array}\)

a) Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C ) đi qua các điểm (1;3), (−1;−3) và \(f'\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{3}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm có hoành độ x₀ = 1;

c) Giải phương trình \(f'\left( {\sin t} \right) = 3\)

d) Giải phương trình \(f''\left( {\cos t} \right) = g'\left( {\sin t} \right)\)

e) Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{f\prime \prime (\sin 5z) + 2}}{{g\prime (\sin 3z) + 3}}\)

Chứng minh rằng tiếp tuyến của hypebol \(y = \frac{{{a^2}}}{x}\) lập thành với các trục tọa độ một tam giác có diện tích không đổi.

Chứng minh rằng nếu hàm số f(z) có đạo hàm đến cấp n thì \(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( n \right)} = {a^n}f_z^{\left( n \right)}\left( {ax + b} \right)\)

Đạo hàm của hàm số y = x³ - 2x² + x + 1 tại x = 0 bằng

A. 1          B. 0          C. 2          D. - 2

Hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}
2x,\,\,\,x \ge 0\\
 - 3x,\,x < 0
\end{array} \right.\) không có đạo hàm tại

A. x = 2          B. x = 1          C. x = 0          D. x = -1

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x³+1 tại x = −1 là:

A. y = 3x+2

B. y = 3x−2

C. y = 3x+4

D. y = 3x+3

Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{2x}}{{\sin x}}\) là:

A. \(\frac{1}{{\sin x}} - x\cos x\)

B. \(\frac{{2\left( {1 - x\cos x} \right)}}{{\sin x}}\)

C. \(\frac{2}{{\sin x}} - x\cot x\)

D. \(\frac{{2x}}{{{{\sin }^2}x}}\)

Cho \(f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + {m^2}x - 5\). Tìm tham số m để f′(x) > 0 với mọi x ∈ R

A. m > 2

B. m > 2 hoặc m < −2

C. m < −2

D. m ∈ R

Cho \({f\left( x \right) = \tan \left( {2{x^3} - 5} \right)}\). Tìm f′(x)

A. \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {2{x^3} - 5} \right)}}\)

B. \(\frac{{2x}}{{{{\cos }^2}\left( {2{x^3} - 5} \right)}}\)

C. \(\frac{{6x}}{{{{\cos }^2}\left( {2{x^3} - 5} \right)}}\)

D. \(\frac{{6{x^2}}}{{{{\cos }^2}(2{x^3} - 5)}}\)

Tìm nghiệm của phương trình \(f''\left( x \right) = 0\) biết \(f\left( x \right) = 3\cos x - \sqrt 3 \sin x\)

A. \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \)       

B. \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \) 

C. \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \)         

D. \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \) 

Cho \(y = {\tan ^3}x\). Tìm dy

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a. \(y = \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{5{x^3}}}{3} - \sqrt {2x}  + 1\)

b. \(y = \frac{{{x^2} + 3x - {a^2}}}{{x - 1}}\) (a là hằng số)

c. \(y = (2 - {x^2})\cos x + 2x\sin x\)

d. \(y = {\tan ^2}x + \tan {x^2}\)

a. Chứng minh rằng \(\left( {\frac{1}{{{x^n}}}} \right)\prime  =  - \frac{n}{{{x^{n + 1}}}},\) trong đó n ϵ N*

b. Với x ≠ 0 và n ϵ N*, ta đặt \({x^{ - n}} = \frac{1}{{{x^n}}}\). Từ đó hãy so sánh đẳng thức trong câu a với công thức \({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}\) và nêu nhận xét.

Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)y = \sin x,\:y'''}\\
{b)y = \sin x\sin 5x,{y^{(4)}}}\\
{c)y = {{(4 - x)}^5},{y^{(n)}}}\\
{d)y = \frac{1}{{2 + x}},{y^{(n)}}}\\
{e)y = \frac{1}{{2x + 1}},{y^{(n)}}}\\
{f)y = {{\cos }^2}x,{y^{(2n)}}}
\end{array}\)

Tính vi phân của hàm số \(y = \frac{1}{{{{(1 + tanx)}^2}}}\) tại điểm \(x = \frac{\pi }{6}\) ứng với \(\Delta x = \frac{\pi }{{360}}\) (tính chính xác đến hàng phần vạn).

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(f(x) = {x^4} + 2{x^2} - 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :

a. Biết tung độ tiếp điểm bằng 2

b. Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành

c. Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y =  - \frac{1}{8}x + 3\)

d. Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; -6)

Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{{x - 1}}\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Đồ thị (P) của một hàm số bậc hai y = P(x) đã bị xóa đi, chỉ còn lại trục đối xứng ∆, điểm A thuộc (P) và tiếp tuyến tại A của (P) (h. 5.8). Hãy tìm P(x) và vẽ lại đồ thị (P).

Cho parabol (P) : y = x². Gọi M₁ và M₂ là hai điểm thuộc (P), lần lượt có hoành độ là x₁ = - 2 và x₂ = 1.

Hãy tìm trên (P) một điểm C sao cho tiếp tuyến tại C song song với cát tuyến M₁M₂. Viết phương trình của tiếp tuyến đó.

Một chất điểm chuyển động có phương trình S = t³ − 3t² − 9t + 2, t > 0, t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m) 

a. Tính vận tốc tại thời điểm t = 2

b. Tính gia tốc tại thời điểm t = 3

c. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0

d. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng 0.

Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai ?

a. Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định

b. Hàm số \(y = \sqrt x \) có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định

c. Hàm số y = |x| có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{4}{{x - 1}}\) tại điểm với hoành độ x = -1 có phương trình là

A. y = −x–3

B. y = −x+2

C. y = x–1

D. y = x+2

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2x} }}\) tại điểm với hoành độ \(x = \frac{1}{2}\) có phương trình là :

A. \(2x-2y =  - 1\)

B. \(2x-2y = 1\)

C. \(2x + 2y = 3\)

D. \(2x + 2y =  - 3\)

Hàm số có đạo hàm bằng \(2x + \frac{1}{{{x^2}}}\) là :

A. \(y = \frac{{{x^3} + 1}}{x}\)

B. \(y = \frac{{{x^3} + 5x - 1}}{x}\)

C. \(y = \frac{{3\left( {{x^2} + x} \right)}}{{{x^3}}}\)

D. \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{x}\)

Đạo hàm cấp 2010 của hàm số y = cosx là :

A. sinx

B. – sinx

C. cosx

D. – cosx

Điền nội dung thích hợp vào chỗ trống.

a. Hàm số hợp của hàm số y = cotu và hàm số trung gian \(u = \sqrt x \) là y = …………….

b. Hàm số hợp của hàm số y = uⁿ và hàm số trung gian u = cosx + sinx là y = ………….

c. Hàm số y = tan3x là hàm số hợp của hàm số y = ………….. và hàm số trung gian u = ………….

d. Hàm số \(y = \sqrt {\cos x} \) là hàm số hợp của hàm số y = ………….. và hàm số trung gian u = ………….