Bài tập 5.121 trang 218 SBT Toán 11

a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2bx + c\)

Đồ thị hàm số (C) đi qua các điểm (1;3) và (-1;-3) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
1 + b + c + d = 3\\
 - 1 + b - c + d =  - 3
\end{array} \right.\)

Lại có 

\({f'\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{3} \Leftrightarrow 3{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + 2b.\frac{1}{3} + c = \frac{5}{3} \Leftrightarrow 1 + 2b + 3c = 5}\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
1 + b + c + d = 3\\
 - 1 + b - c + d =  - 3\\
1 + 2b + 3c = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b =  - 1\\
c = 2\\
d = 1
\end{array} \right.\)

Vậy ta có: \(f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 2x + 1\)

b)

Điểm có tọa độ x₀ = 1 thì có tung độ là \({y_0} = 1 - 1 + 2 + 1 = 3\)

Ta có: 

\({f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 2 \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 3 - 2 + 2 = 3}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm x₀ = 1 là:

\({y = 3\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 3x}\)

c) Ta có:

\({f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 2 \Rightarrow f'\left( {\sin t} \right) = 3{{\sin }^2}t = 2\sin t + 2}\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
f\prime (\sin t) = 3\\
 \Leftrightarrow 3\sin 2t - 2\sin t + 2 = 3\\
 \Leftrightarrow 3\sin 2t - 2\sin t - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin t = 1\\
\sin t = \frac{{ - 1}}{3}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
t = \arcsin \left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) + k2\pi \\
t = \pi  - \arcsin \left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) + k2\pi 
\end{array} \right.
\end{array}\)

d) Ta có: 

\({f''\left( x \right) = 6x - 2 \Rightarrow f''\left( {\cos t} \right) = 6\cos t - 2}\)

\({g'\left( x \right) = 2x - 3 \Rightarrow g'\left( {\sin t} \right) = 2\sin t - 3}\)

Do đó: \(f\prime \prime (\cos t) = g\prime (\sin t)\)

e) \(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{f''\left( {\sin 5z + 2} \right)}}{{g'\left( {\sin 3z} \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{6\sin 5z}}{{2\sin 3z}} = 5\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{\frac{{\sin 5z}}{{5z}}}}{{\frac{{\sin 3z}}{{3z}}}} = 5\)

-- Mod Toán 11 HỌC247