Tìm m để hàm số \(y = (m - 1){x^3} - 3(m + 2){x^2} - 6(m + 2)x + 1\) có \(y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}y' = \left[ {\left( {m - 1} \right){x^3} - 3\left( {m + 2} \right){x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x + 1} \right]'\\ = 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x - 6\left( {m + 2} \right)\\y' \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x - 6\left( {m + 2} \right) \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m + 2} \right) \ge 0,\forall x \in R\end{array}\)

Với \(m = 1\) thì \(y' =  - 18x - 18 \ge 0 \Leftrightarrow x \le  - 1\) nên không thỏa mãn bài toán.

Do đó

\(\begin{array}{l}y' \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\{\left( {m + 2} \right)^2} + 2\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left( {m + 2} \right)\left( {m + 2 + 2m - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left( {m + 2} \right).3m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\ - 2 \le m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \end{array}\)  

Do đó không có m thỏa mãn bài toán.

Đáp án C