Toán 8 Cánh Diều Chương 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Định lí:

Ví dụ: Tìm x trong hình bên dưới.

Hướng dẫn giải

RS là tia phân giác của góc \(\widehat {PRQ}\). Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{SQ}}{{SR}} = \frac{{RQ}}{{RP}}\\ \Leftrightarrow \frac{{10}}{5} = \frac{x}{6}\\ \Leftrightarrow 2 = \frac{x}{6}\\ \Leftrightarrow x = 12\end{array}\)

Vậy độ dài đoạn thẳng RQ là 12.

Chứng minh định lí:

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD tại điểm E.

Ta có: góc BAE = góc CAE (giả thiết).

Vì BE // AC nên góc CAE = góc BEA (hai góc so le trong).

Suy ra góc BAE = góc BEA. Do đó tam giác ABE cân tại B, suy ra BE = AB (1).

Áp dụng hệ quả của định li Thales đối với tam giác ACD, ta có: \({DB \over DC}={BE \over AC}\)

Từ (1) và (2) suy ra \({DB \over DC}={AB \over AC}\) (đpcm).

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của góc A cắt đường chéo BD tại E và phân giác của góc B cắt đường chéo AC tại F. Chứng minh EF // AB.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{ED}}{{AB}}\) (1)

\(\frac{{FC}}{{FA}} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{FC}}{{FA}}\)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, ta có:

\(\frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{FC}}{{FA}} \Rightarrow \frac{{ED}}{{EB - ED}} = \frac{{FC}}{{FA - FC}}\)\( \Rightarrow \frac{{ED}}{{OE}} = \frac{{FC}}{{OF}}\)

\( \Rightarrow {\rm{EF//DC}}\)

Bài 2: Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia CD, lấy một điểm E, gọi F là giao điểm của AE và cạnh BC. Đường thẳng song song với AB kẻ qua F, cắt đoạn thẳng BE tại điểm P. Chứng minh CP là phân giác của góc BCE.

Hướng dẫn giải

\(AB//DE \Rightarrow \frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{CE}}\)

Mà AB = BC nên \(\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{BC}}{{CE}}\,\,\,\,(1)\)

FP // CE \( \Rightarrow \frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{PB}}{{PE}}\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{PB}}{{PE}} = \frac{{CB}}{{CE}} \Rightarrow \) CP là tia phân giác góc BCE.

Bài 3: Cho tam giác ABC, có cạnh BC cố định, đỉnh A thay đổi nhưng tỉ số \(\frac{{AB}}{{AC}} = k,\) với k là một số thực dương cho trước. Các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A, cắt cạnh BC và cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại các điểm D, E.

a) Chứng minh rằng D, E là hai điểm cố định.

b) Tìm quỹ tích đỉnh A.

Hướng dẫn giải

a)  Theo định lí về tính chất của đường phân giác, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = k\\\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = k.\end{array}\)

Các tỉ số \(\frac{{DB}}{{DC}}\) và \(\frac{{EB}}{{EC}}\) bằng k không đổi, hai điểm B, C cố định, suy ra hai điểm D, E chia trong và chia ngoài đoạn thẳng cố định BC theo một tỉ số không đổi nên D và E là hai điểm cố định.

b) AD và AE là các tia phân giác của hai góc kề bù, vậy:

\(AD \bot AE \Rightarrow \widehat {DAE} = {90^0}\)

Điểm A nhìn đoạn thẳng cố định DE dưới một góc vuông. Vậy quỹ tích  A là đường  tròn đường kính DE (có tâm là trung điểm I của DE và bán kính \(\frac{{DE}}{2}\)).

Qua bài học này, các em sẽ có thể hoàn thành một số mục tiêu mà bài đưa ra như sau: 

- Giải thích tính chất đường phân giác trong của tam giác.

- Sử dụng tính chất đường phân giác trong của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số của hai đoạn thẳng.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Cánh Diều Chương 8 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé! 

Hoạt động 1 trang 66 SGK Toán 8 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 1 trang 67 SGK Toán 8 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 2 trang 67 SGK Toán 8 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 3 trang 68 SGK Toán 8 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 4 trang 68 SGK Toán 8 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 1 trang 69 SGK Toán 8 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 2 trang 69 SGK Toán 8 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 3 trang 69 SGK Toán 8 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 4 trang 69 SGK Toán 8 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 5 trang 69 SGK Toán 8 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 6 trang 69 SGK Toán 8 Tập 2 Cánh diều - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!