Bài tập 8 trang 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao

a) Hàm số f(x) = x - sinx liên tục trên nữa khoảng \(\left [0; \frac{\pi }{2} \right )\) và có đạo hàm f'(x) = 1- cosx > 0 với mọi \(x\in \left (0; \frac{\pi }{2} \right )\) ta có:

\(f(x)>f(0)=0\)

\(\Rightarrow x-sinx>0 \ \forall x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\) 

Với \(x\geq \frac{\pi }{2}\) thì \(x> 1\geq sinx\)

Vậy sinx < x với mọi x > 0.

Với mọi x < 0 ta có -x > 0, áp dụng chứng minh trên ta có:

\(sin(-x)<-x\)

\(\Rightarrow -sinx<-x\Rightarrow sinx>x\)

Vậy sinx > với mọi x < 0.

b) Hàm số \(g(x)=cosx+\frac{x^2}{2}-1\) liên tục trên \([0;+ \infty )\) và có đạo hàm g'(x) = x - sin x

Theo câu a) g'(x) > 0 với mọi x > 0 nên hàm số g đồng biến trên \([0;+ \infty )\) khi đó ta có:

g(x) > g(0) = 0 với mọi x > 0, tức là \(cosx+\frac{x^2}{2}-1>0\) với mọi x > 0

hay \(cosx>1-\frac{x^2}{2}\) với mọi x > 0 (1)

Với mọi x < 0 thì x > 0 nên theo (1) ta có:

\(cos(-x)>1-\frac{(-x)^2}{2}\Leftrightarrow cosx>1-\frac{x^2}{2}\) 

với mọi x < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(cosx>1-\frac{x^2}{2}\) với mọi \(x\neq 0\).

c) Hàm số \(h(x)=sinx-x+\frac{x^3}{6}\) có đạo hàm \(h'(x)=cosx-1+\frac{x^2}{2}>0\) với mọi \(x\neq 0\) (câu b)

Do đó h đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên ta có:

\(h(x)>h(0)=0, \forall x> 0\) 

và \(h\left( x \right) < h\left( 0 \right) = 0,\forall x < 0\)

Từ đó suy ra \(sinx> x-\frac{x^3}{6}\) với mọi x > 0

\(sinx< x-\frac{x^3}{6}\) với mọi x < 0.

-- Mod Toán 12 HỌC247