Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) \(y = 4 + 3x - x^2\).                                    

b) \(y =\frac{1}{3} x^3 + 3x^2 - 7x - 2\).

c) \(y = x^4 - 2x^2 + 3\).                               

d) \(y = -x^3 + x^2 - 5\).

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) \(y = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}\).

b) \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{1 - x}}\).

c) \(y = \sqrt {{x^2} - x - 20} \).

d) \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}}\).

Chứng minh rằng hàm số \(y=\frac{x}{x^{2}+1}\) đồng biến trên khoảng (-1;1) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1)\) và \((1 ; +\infty)\).

Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) đồng biến trên khoảng \((0 ; 1)\) và nghịch biến trên các khoảng \((1 ; 2)\).

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)  \(\tan x > x (0 < x <\frac{\pi }{2} )\)                              

b) \(\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\)

Với các giá trị nào của a hàm số y = ax - x³ nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

​​​​​Tìm các giá trị của tham số a để hàm số: \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+4x+3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Chứng minh rằng hàm số: f(x) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\sin x < x\) với mọi x > 0, \(\sin x > x\) với mọi x < 0.

b) \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi \(x\neq 0\)

c) \(\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x > 0; 

\(\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x < 0

Chứng minh rằng

\(sinx +tanx > 2x\) với mọi \(x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\)​

Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 ước tính bởi công thức \(f(t)=\frac{26t+10}{t+5}\)(f(x) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 và đầu năm 1995

b) Xem f là một hàm số xác định trên nữa khoảng \([0; +\infty )\). Tính f'(t) và xét chiều biến thiên của f trên nữa khoảng \([0; +\infty )\).

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dần số cảu thị trấn (tính bằng nghìn người/ năm)

- Tính tốc độ tăng dân số vào đầu năm 1990 của thị trấn

- Tính tốc độ tăng dân số được dự kiến vào năm 2008.

- Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/ năm.

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) \(y = 3{x^2} - 8{x^3}\);

b) \(y = 16x + 2{x^2} - \frac{{16}}{3}{x^3} - {x^4}\);

c) \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\);

d) \(y = {x^4} + 8{x^2} + 5\)

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) \({y = \frac{{3 - 2x}}{{x + 7}}}\);

b) \(y = \frac{1}{{{{(x - 5)}^2}}}\);

c) \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}}\);

d) \(y = \frac{{{x^4} + 48}}{x}\);

e) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}\);

g) \(y = \frac{{{x^2} - 5x + 3}}{{x - 2}}\).

Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 100}}\);

b) \(y = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 6} }}\).

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) \({y = x - \sin x,x \in [0;2\pi ]}\);

b) \({y = \sin \frac{1}{x},(x > 0)}\).

Xác định tham số m để hàm số sau:

a) \(y = \frac{{mx - 4}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định;

b) \(y =  - {x^3} + m{x^2} - 3x + 4\) nghịch biến trên (−∞;+∞).

Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất.

\(3(\cos x - 1) + 2\sin x + 6x = 0\)

Xác định giá trị của b để hàm số \(f(x) = \sin x - bx + c\) nghịch biến trên toàn trục số.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(y = \sin x\) là hàm số chẵn.

B. Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {3x + 5} }}{{x - 1}}\) xác định trên R.

C. Hàm số \(y = {x^3} + 4x - 5\) đồng biến trên R.

D. Hàm số \(y = \sin x + 3x - 1\) nghịch biến trên R.

Hàm số \(y = \sqrt {25 - {x^2}} \) nghịch biến trên khoảng:

A.  (−∞;0)

B.  (−5;0)

C.  (0;5)

D.  (5;+∞)

Hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\) đồng biến trên khoảng:

A.  (4;+∞)

B.  (−4;4)

C. (−∞;−4)

D. R

Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. \(3{\sin ^2}x - {\cos ^2}x + 5 = 0\)

B. \({x^2} - 5x + 6 = 0\)

C. \({x^5} + {x^3} - 7 = 0\)

D. \(3\tan x - 5 = 0\)

Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. \({x^2} - 7x + 12 = 0\)

B. \({x^3} + 5x + 6 = 0\)

C. \({x^4} - 3{x^2} + 1 = 0\)

D. \(2\sin x{\cos ^2}x - 2\sin x - {\cos ^2}x + 1 = 0\)

Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. \((x - 5)({x^2} - x - 12) = 0\)

B. \(- {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0\)

C. \({\sin ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\)

D. \(\sin x - \cos x + 1 = 0\)

Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} + 12x - 7\) đồng biến trên R.

A. \(m = 4\)

B. \(m \in (0; + \infty )\)

C. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right)\)

D. \( - 3 \le x \le 3\)

Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{ - mx - 5m + 4}}{{x + m}}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định.

A.  m < 1 hoặc m > 4

B.  0 < m < 1

C.  m > 4

D.  1 ≤ m ≤ 4

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)\,y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\\
b)\,y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\\
c)y = x + \frac{3}{x}\\
d)y = x - \frac{2}{x}\\
e)y = {x^4} - 2{x^2} - 5\\
f)y = \sqrt {4 - {x^2}} 
\end{array}\)

Chứng minh rằng:

a) Hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R

a) \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 17x + 4\)

b) \(f\left( x \right) = {x^3} + x - \cos x - 4\)

Với các giá trị nào của a, hàm số \(y = ax - {x^3}\) nghịch biến trên R

Tìm các giá trị của tham số a để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên R

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 5\\
b)y =  - \frac{4}{3}{x^3} + 6{x^2} - 9x - \frac{2}{3}\\
c)y = \frac{{{x^2} - 8x + 9}}{{x - 5}}\\
d)y = \sqrt {2x - {x^2}} \\
e)y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \\
f)y = \frac{1}{{x + 1}} - 2x
\end{array}\)

Chứng minh rằng hàm số f(x) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên R

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin x < x với mọi x > 0, sin x > x với mọi x < 0

b) \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi \(x \ne 0\)

c) \(\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x > 0, \(\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x < 0

Chứng minh rằng sinx + tanx > 2x với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Số dân của một thị trấn t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức \(f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\) (f(t) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1908 và đầu năm 1995

b) Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\). Tính f’(t) và xét chiều biến thiến của h trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dần của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)

• Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn.
• Vào năm nào thì tốc độ tăng dần số là 0,125 nghìn /người?