Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 25: Nhị thức Newton

Hãy xây dựng sơ đồ hình cây của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau:

• Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi müi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H.8.6);
• Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi müi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;
• Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhã̉n của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.

Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d)

Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H.8.7) của tích (a +b).(a +b).(a +b)

Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng a³, a²b, ab², b³?

Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển (a + b)³.

Sơ đồ hình cây của khai triển (a + b)⁴ được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm 2⁴ (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng x.y.z.t, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a, còn z là b thì ta có đơn thức a.a.b.a, thu gọn là a³b. Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử x, y, z, t có 1 nhân tử là b, 3 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với ³b trong tổng là $C_{4}^{1}$.

Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hã̃y cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau:

+) a⁴           +) a³b          +) a²b²          +) ab³          +) b⁴

Khai triển \({\left( {x - 2} \right)^4}\).

Tương tự như HĐ 3, sau khi khai triển (a + b)⁵, ta thu được một tổng gồm 2⁵ đơn thức có dạng x.y.z.t.u, trong đó mỗi kí hiệu x, y, z, t, u là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, z là a, còn y, t, u là b thì ta có đơn thức a.b.a.b.b, thu gọn là a²b³. Để có đơn thức này, thì trong 5 nhân tử x, y, x, t, u có 3 nhân tử là b, 2 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với a²b³ trong tổng là \(C_{5}^{3}\).

Lập luận tương tự như trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết, trong tổng nhận được nêu trên có bao nhiêu đơn thứ c đồng dạng với mổi đơn thức thu gọn sau:

+) a⁵       +) a⁴b        +) a³b           +) a²b³         +) ab⁴          +) b⁵

Khai triển \({\left( {3x - 2} \right)^5}\)

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,05)⁴ để tính giá trị gần đúng của 1,05⁴.

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,05⁴ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Khai triển các đa thức:

a) (x -3)⁴             

b) (3x - 2y)⁴

c) (x+5)⁴ + (x - 5)⁴       

d) (x - 2y)⁵

Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển của \({\left( {3x - 1} \right)^5}\) 

Biểu diễn \((3+\sqrt{2})^{5}-(3-\sqrt{2})^{5}\) dưới dạng \(a+b\sqrt{2}\) với a, b là các số nguyên.

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,02)⁵ để tính giá trị gần đúng của 1,02⁵

b) Dùng máy tinh cầm tay tính giá trị của 1,02⁵và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Số dân của một tình ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r%.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là \(P=800\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{5}\) (nghìn người).

b) Với r = 1,5%, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của (1 + 0,015)⁵ hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

Khai triển các đa thức

a) \({(x - 2)^4}\);                           

b) \({(x + 2)^5}\);

c) \({(2x - 3y)^4}\);                        

d) \({(2x - y)^5}\).

Trong khai triển của \({(5x - 2)^5}\), số mũ của x được sắp xếp theo lũy thừa tăng dần, hãy tìm hạng tử thứ hai. 

Hãy sử dụng ba số hạng đầu tiên trong khai triển của \({(1 + 0,03)^4}\) để tính giá trị gần đúng của \(1,{03^4}\). Xác định sai số tuyệt đối.

Xác định hạng tử không chứa x trong khai triển của \({\left( {x + \frac{2}{x}} \right)^4}\).

Khai triển \({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4}\)