Toán 7 Cánh diều Bài 6: Dãy tỉ số bằng nhau

Chú ý:

+ Với dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g}\), ta cũng có thể viết a : b = c : d = e : g 

+ Khi có dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g}\), ta nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, g và viết là a : c : e = b : d : g.

Ví dụ: \(\frac{{ - 2}}{5} = \frac{6}{{ - 15}} = \frac{{0,5}}{{ - 1,25}} = \frac{{ - 4}}{{10}}\)

Nhận xét:

Tính chất trên còn được mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau. Chẳng hạn, từ dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g}\), ta suy ra:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + g}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + g}}\) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Ví dụ: Tìm hai số x, y, biết: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{7}\) và x + y = 20.

Giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{7} = \frac{{x + y}}{{3 + 7}} = \frac{{20}}{{10}} = 2\)

Vậy x = 3 . 2 = 6; y = 7 . 2 = 14.

Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, chẳng hạn, ứng dụng vào bài toán chia một đại lượng cho trước thành các phân theo tỉ lệ cho trước.

Ví dụ 1: Một công ty chỉ 168 triệu đồng để thưởng cuối năm cho nhân viên ở ba tổ. Số tiền thưởng của ba tổ tỉ lệ với ba số 3; 5; 6. Tính số tiền thưởng của mỗi tổ.

Giải

Gọi số tiên thưởng của mỗi tổ lần lượt là x (triệu đồng), y (triệu đồng), z (triệu đồng).

Tacó: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6} = \frac{{x + y + z}}{{3 + 5 + 6}}\) và \(x + y + z = 168.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6} = \frac{{x + y + z}}{{3 + 5 + 6}} = \frac{{168}}{{14}} = 12.\)

Suy ra: x = 3. 12 = 36 (triệu đồng); y= 5 . 12= 60 (triệu đồng); s = 6. 12 = 72 (triệu đồng).

Vậy số tiền thưởng của mỗi tổ lần lượt là: 36 triệu đồng, 60 triệu đồng, 72 triệu đồng.

Ví dụ 2: Ba máy bơm cùng bơm nước vào một bể bơi không có nước, có dạng hình hộp chữ nhật, với các kích thước bể là 12 m; 10 m; 1,2 m. Lượng nước mà ba máy bơm được tỉ lệ với 3 số 7;8;9. Mỗi máy cần bơm bao nhiêu mét khối nước để đầy bể bơi?

Lời giải

Thể tích bể bơi là:

V = 12.10.1,2 = 144 (m3)

Gọi lượng nước mà mỗi máy cần bơm lần lượt là: x,y,z (m3) (x,y,z > 0) thì tổng lượng nước 3 máy cần bơm là: x + y + z = 144

Vì lượng nước mà ba máy bơm được tỉ lệ với 3 số 7;8;9 nên \(\frac{x}{7} = \frac{y}{8} = \frac{z}{9}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{7} = \frac{y}{8} = \frac{z}{9} = \frac{{x + y + z}}{{7 + 8 + 9}} = \frac{{144}}{{24}} = 6\)

\( \Rightarrow x = 7.6 = 42;y = 8.6 = 48;z = 9.6 = 54\)(thỏa mãn)

Vậy lượng nước mà mỗi máy cần bơm lần lượt là: 42 m3; 48 m3 và 54 m3 

Câu 1: Viết dãy tỉ số bằng nhau từ các tỉ số: \(\frac{1}{4};\frac{8}{{32}};\frac{{13}}{{54}};\frac{{ - 9}}{{ - 36}}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{8}{{32}} = \frac{{8:8}}{{32:8}} = \frac{1}{4};\\\frac{{13}}{{54}};\\\frac{{ - 9}}{{ - 36}} = \frac{{( - 9):( - 9)}}{{( - 36):( - 9)}} = \frac{1}{4}\end{array}\)

Như vậy, \(\frac{1}{4} = \frac{8}{{32}} = \frac{{ - 9}}{{ - 36}}\)

Câu 2: 

a) Cho tỉ lệ thức\(\frac{6}{{10}} = \frac{9}{{15}}\). So sánh hai tỉ số \(\frac{{6 + 9}}{{10 + 15}}\) và \(\frac{{6 - 9}}{{10 - 15}}\) với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.

b) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) với \(b + d \ne 0;b - d \ne 0\)

Gọi giá trị trung của các tỉ số đó là k, tức là: \(k = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)

- Tính a theo b và k, tính c theo d và k.

- Tính tỉ số \(\frac{{a + c}}{{b + d}}\) và \(\frac{{a - c}}{{b - d}}\) theo k.

- So sánh mỗi tỉ số \(\frac{{a + c}}{{b + d}}\) và \(\frac{{a - c}}{{b - d}}\) với các tỉ số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{6}{{10}} = \frac{{6:2}}{{10:2}} = \frac{3}{5};\\\frac{9}{{15}} = \frac{{9:3}}{{15:3}} = \frac{3}{5}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{6 + 9}}{{10 + 15}} = \frac{{15}}{{25}} = \frac{{15:5}}{{25:5}} = \frac{3}{5};\\\frac{{6 - 9}}{{10 - 15}} = \frac{{ - 3}}{{ - 5}} = \frac{3}{5}\end{array}\)

Ta được: \(\frac{{6 + 9}}{{10 + 15}} = \frac{{6 - 9}}{{10 - 15}} = \frac{6}{{10}} = \frac{9}{{15}}\)

b) - Vì \(k = \frac{a}{b} \Rightarrow a = k.b\)

Vì \(k = \frac{c}{d} \Rightarrow c = k.d\)

- Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{k.b + k.d}}{{b + d}} = \frac{{k.(b + d)}}{{b + d}} = k;\\\frac{{a - c}}{{b - d}} = \frac{{k.b - k.d}}{{b - d}} = \frac{{k.(b - d)}}{{b - d}} = k\end{array}\)

- Như vậy, \(\frac{{a + c}}{{b + d}}\) =\(\frac{{a - c}}{{b - d}}\) = \(\frac{a}{b}\) =\(\frac{c}{d}\)( =k)

Qua bài giảng ở trên, giúp các em học sinh:

 - Nắm vững tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

 - Có kĩ năng vận dụng tính chất này để giải các bài toán chia theo tỉ lệ

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Cánh diều Chương 2 Bài 6 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Ba số x, y, z lần lượt tỉ lệ với các số 3; 5; 4. Dãy tỉ số bằng nhau nào sau đây thể hiện câu nói trên?

  • A. \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5};\)
  • B. \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4};\)
  • C. \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5};\) 
  • D. \(\frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{z}{3}.\) 

• Câu 2:

  Chọn câu đúng. Với các điều kiện các phân thức có nghĩa thì:

  • A. \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x + y}}{{a - b}};\) 
  • B. \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x - y}}{{a + b}};\) 
  • C. \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x + y}}{{a + b}};\) 
  • D. \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x + b}}{{a + y}}.\)

• Câu 3:

  Hai số x, y thoả mãn  x 2 = y − 3 x2=y−3 và x + y = 9 là:

  • A. x = –1 và y = 10;
  • B. x = −9 và y = 18;
  • C. x = 18 và y = −27;
  • D. x = −18 và y = 27.

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 2 Bài 6 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Câu hỏi khởi động trang 55 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 56 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 57 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 3 trang 57 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 4 trang 57 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 1 trang 58 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 58 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 58 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 58 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 58 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 6 trang 58 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 7 trang 58 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 47 trang 56 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 48 trang 56 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 49 trang 56 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 50 trang 56 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 51 trang 56 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 52 trang 57 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 53 trang 57 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 54 trang 57 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!