Toán 7 Cánh diều Bài tập cuối chương 2

a) Số vô tỉ

- Khái niệm số vô tỉ

Trong đời sống thực tiễn của con người, ta thường gặp những số không phải là số hữu tỉ, những số đó được gọi là số vô tỉ.

- Số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Số thập phân 0,333... = 0.(3) có vô số chữ số khác 0 ở phần thập phân của số đó. Những số thập phân như vậy gọi là số thập phân vô hạn. Tuy nhiên, có những số thập phân vô hạn mà ở phẩn thập phân của nó không có một chu kì nào cả, chẳng hạn, hai số 0,01001000100001000001... và - 5,02002000200002000002... Những số như vậy được gọi là số thập phân vô hạn không tuân hoàn.

- Biểu diễn thập phân của số vô tỉ

b) Căn bậc hai số học

Chú ý:

- Căn bậc hai số học của số \(a\left( {a \ge 0} \right)\) được kí hiệu là \(\sqrt a \). 

- Căn bậc hai số học của số 0 là số 0, viết là \(\sqrt 0  = 0\)

- Cho \(a \ge 0\). Khi đó:

+ Đẳng thức \(\sqrt a  = b\) đúng nếu \(b \ge 0;{b^2} = a\)

+ \({\left( {\sqrt a } \right)^2} = a\)

a) Tập hợp số thực

- Biểu diễn thập phân của số thực

Mỗi số thực là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ. Vì thế, mỗi số thực đều biêu diện được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn. Cụ thể, ta có sơ đồ sau:

b) Biểu diễn số thực trên trục số

+ Do \(\sqrt 2 \) không phải là số hữu tỉ mà là số vô tỉ nên không phải mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số hữu tỉ. Vậy các điểm biểu diễn số hữu tỉ không lấp đây trục số.

+ Người ta chứng minh được rằng: Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số; Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Vì thế, trục số còn được gọi là trục số thực (Hình 4).

c) Số đối của một số thực

Nhận xét: Số đối của số - a là số a, tức là - (- a) = a.

* So sánh 2 số thực

- Cũng như số hữu tỉ, trong hai số thực khác nhau luôn có một số nhỏ hơn số kia.

+ Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta viết a < b hay b > a.

+ Số thực lồn hơn 0 gọi là số thực dương.

+ Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.

+ Số 0 không phải là số thực dương cũng không phải là số thực âm.

+ Nếu a < b và b < c thì a < c.

* Cách so sánh hai số thực

- Ta viết chúng về cùng dạng phân số (hoặc dạng số thập phân) rồi so sánh chúng.

- Các số thực đều viết được dưới dạng số thập phân ( hữu hạn hay vô hạn). Ta có thể so sánh 2 số thực tương tự như so sánh số thập phân.

Chú ý: Nếu 0 < a < b thì \(\sqrt a  < \sqrt b \)

* Minh họa trên trục số

- Giả sử hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x, y trên trục số nằm ngang. Ta thừa nhận nhận xét sau:

+ Nếu x < y hay y > x thì điểm x nằm bên trái điểm y;

+ Ngược lại, nếu điểm x nằm bên trái điểm y thì x < y hay y > x.

- Đối với hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x, y trên trục số thẳng đứng, ta cũng thừa nhận nhận xét sau:

+ Nếu x< y hay y > x thì điểm x nằm phía dưới điểm y;

+ Ngược lại, nếu điểm x nằm phía dưới điểm y thì x < y hay y > x.

a) Khái niệm

Nhận xét:

+ Giá trị tuyệt đối của một số luôn là một số không âm: \(\left| x \right| \ge 0\) với mọi số thực x.

+ Hai số đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau

b) Tính chất

Nhận xét: Với mỗi số thực x ta có:

\(\begin{array}{l}
*\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}
x\;\;neu\;\;\;x \ge 0\\
x\;\;neu\;\;\;x \le 0
\end{array} \right.\\
*\left| { - x} \right| = \left| x \right|
\end{array}\)

Chú ý: Giả sử 2 điểm A và B lần lượt biểu diễn 2 số thực a và b khác nhau trên trục số. Khi đó, độ dài của đoạn thẳng AB là |a – b|, tức là AB = |a – b|.

a) Làm tròn số

b) Làm tròn số thập phân căn cứ vào độ chính xác cho trước

Nhận xét: Khi làm tròn số 144 đến hàng chục ta được số 140. Trên trục số nằm ngang, khoảng cách giữa điểm 140 và điểm 144 là 144 - 140 = 4. Khoảng cách đó không vượt quá 5.

Ta nói số 144 được làm tròn đến số 140 với độ chính xác 5.

Nhận xét

+ Khi làm tròn số đến một hàng nào đó thì độ chính xác bằng nửa đơn vị của hàng làm tròn (xem mình hoạ ở Bảng 1).

+ Để làm tròn số với độ chính xác cho trước, ta có thể sử dụng cách nêu trong Bảng 2.

Chú ý: Trong đo đạc và tính toán thực tiễn, ta thường cố gắng làm tròn số thực với độ chính xác d càng nhỏ càng tốt. Trong thực tế, làm tròn số thực là một công việc có nhiều khó khăn. Tuy nhiên, người ta cũng biết một số cách để làm tròn số thực.

b) Ước lượng

Trong thực tiên, đôi lúc ta không quá quan tâm đến tính chính xác của kết quả tính toán mà chỉ cần ước lượng kết quả, tức là tìm một số gần sát với kết quả chính xác.

a) Định nghĩa

Tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) còn được viết là a : b = c : d; các số a, b, c, d gọi là các số hạng của tỉ lệ thức. 

Chẳng hạn, tỉ lệ thức \(\frac{{12}}{{28}} = \frac{{7,5}}{{17,5}}\) còn được viết là 12 : 28 = 7,5 : 17,5.

b) Tính chất

* Tính chất 1

Ví dụ: \(\frac{{ - 24}}{{30}} = \frac{8}{{ - 10}}\) thì (-24). (-10) = 30 . 8

* Tính chất 2

Nhận xét: Với a, b, c, d đều khác 0 thì từ một trong năm đẳng thức sau đây, ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại:

a) Khái niệm

Chú ý:

+ Với dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g}\), ta cũng có thể viết a : b = c : d = e : g 

+ Khi có dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g}\), ta nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, g và viết là a : c : e = b : d : g.

b) Tính chất

Nhận xét:

Tính chất trên còn được mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau. Chẳng hạn, từ dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g}\), ta suy ra:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + g}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + g}}\) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

 

a) Khái niệm

Chú ý: Nếu y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ \(\frac{1}{k}\). Ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

b) Tính chất

Cụ thể: Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k. Với mỗi giá trị x1 , x2 , x3 ,… khác 0 của x, lần lượt tương ứng với giá trị y1 , y2 , y3 ,… của y thì:

+ \(\frac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \frac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_3}}}{{{x_3}}} = .... = k\)

+ \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}};\frac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \frac{{{y_1}}}{{{y_3}}};...\)

a) Khái niệm

Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a. Ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

b) Tính chất

Cụ thể: Giả sử y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. Với mỗi giá trị \({x_{1,}}{x_2},{x_3},...\) khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng \({y_{1,}}{y_2},{y_3},...\) của y. Khi đó:

* \({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a\) hay \(\frac{{{x_1}}}{{\frac{1}{{{y_1}}}}} = \frac{{{x_2}}}{{\frac{1}{{{y_2}}}}} = \frac{{{x_3}}}{{\frac{1}{{{y_3}}}}} = ... = a;\)

* \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}};\frac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \frac{{{y_3}}}{{{y_1}}};...\)

Câu 1: So sánh 2 số thực sau:

a) \(1,(375)\) và \(1\frac{3}{8}\)

b) – 1,(27) và -1,272

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 1,(375) = 1,375375375…

\(1\frac{3}{8}\) = 1,375

Vì 1,375375375 > 1,375 nên 1,(375) > \(1\frac{3}{8}\)

b) Ta có: -1,(27) = -1,272727…

Vì 1,272727… > 1,272 nên - 1,272727 < -1,272 hay – 1,(27) <  -1,272

Câu 2: Cho x = -12. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) 18 + |x|

b) 25 - |x|

c) |3+x| - |7|

Hướng dẫn giải

Vì x = -12 nên |x| = 12

a) 18 + |x| = 18 + 12 = 30;

b) 25 - |x| = 25 – 12 = 13;

c) |3+x| - |7| = |3 + (-12)| - 7  =  | 3+(-12)| - 7 = |-9| - 7 = 9 – 7 = 2

Câu 3: 

a) Làm tròn số 23 615 với độ chính xác 5.

b) Làm tròn số 187 638 với độ chính xác 50.

Hướng dẫn giải

a) Vì 1 < 5 < 10 nên ta làm tròn số 23 615 đến hàng chục.

Gạch chân dưới chữ số hàng chục: 23 615.

Nhận thấy chữ số hàng đơn vị là 5 nên ta tăng thêm chữ số hàng chục một đơn vị và thay chữ số hàng đơn vị bởi số 0.

Vậy số 23 615 làm tròn với độ chính xác 5 ta thu được kết quả là 23 620.

b) Vì 10 < 50 < 100 nên ta làm tròn số 187 638 đến hàng trăm.

Gạch chân dưới chữ số hàng trăm: 187 638 .

Nhận thấy chữ số hàng chục là 3 < 5 nên ta giữ nguyên chữ số hàng trăm và thay các chữ số hàng chục và hàng đơn vị bởi số 0.

Vậy số 187 638 làm tròn với độ chính xác 50 ta thu được kết quả là 187 600.

Câu 4: 

a) Cho tỉ lệ thức \(\frac{6}{{10}} = \frac{{ - 9}}{{ - 15}}\). So sánh tích hai số hạng 6 và -15 với tích hai số hạng 10 và -9

b) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Nhân hai vế của tỉ lệ thức với tích bd, ta được đẳng thức nào?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 6. (-15) = -90;

10.(-9) = = - 90

Vậy tích hai số hạng 6 và -15 bằng tích hai số hạng 10 và -9

b) Nhân hai vế của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) với tích bd, ta được: \(\frac{{a.b.d}}{b} = \frac{{c.b.d}}{d} \Rightarrow ad = bc\)

Vậy ta được đẳng thức ad = bc

Câu 5: 

a) Cho tỉ lệ thức\(\frac{6}{{10}} = \frac{9}{{15}}\). So sánh hai tỉ số \(\frac{{6 + 9}}{{10 + 15}}\) và \(\frac{{6 - 9}}{{10 - 15}}\) với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.

b) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) với \(b + d \ne 0;b - d \ne 0\)

Gọi giá trị trung của các tỉ số đó là k, tức là: \(k = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)

- Tính a theo b và k, tính c theo d và k.

- Tính tỉ số \(\frac{{a + c}}{{b + d}}\) và \(\frac{{a - c}}{{b - d}}\) theo k.

- So sánh mỗi tỉ số \(\frac{{a + c}}{{b + d}}\) và \(\frac{{a - c}}{{b - d}}\) với các tỉ số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{6}{{10}} = \frac{{6:2}}{{10:2}} = \frac{3}{5};\\\frac{9}{{15}} = \frac{{9:3}}{{15:3}} = \frac{3}{5}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{6 + 9}}{{10 + 15}} = \frac{{15}}{{25}} = \frac{{15:5}}{{25:5}} = \frac{3}{5};\\\frac{{6 - 9}}{{10 - 15}} = \frac{{ - 3}}{{ - 5}} = \frac{3}{5}\end{array}\)

Ta được: \(\frac{{6 + 9}}{{10 + 15}} = \frac{{6 - 9}}{{10 - 15}} = \frac{6}{{10}} = \frac{9}{{15}}\)

b) - Vì \(k = \frac{a}{b} \Rightarrow a = k.b\)

Vì \(k = \frac{c}{d} \Rightarrow c = k.d\)

- Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{k.b + k.d}}{{b + d}} = \frac{{k.(b + d)}}{{b + d}} = k;\\\frac{{a - c}}{{b - d}} = \frac{{k.b - k.d}}{{b - d}} = \frac{{k.(b - d)}}{{b - d}} = k\end{array}\)

- Như vậy, \(\frac{{a + c}}{{b + d}}\) =\(\frac{{a - c}}{{b - d}}\) = \(\frac{a}{b}\) =\(\frac{c}{d}\)( =k)

Câu 6: Một xưởng may có 56 công nhân dự định hoàn thành một hợp đồng trong 21 ngày. Nhưng bên đặt hàng muốn nhận hàng sớm nên xưởng may cần phải hoàn thành hợp đồng trong 14 ngày. Hỏi xưởng may cần tăng thêm bao nhiêu công nhân? Giả sử năng suất của mỗi công nhân là như nhau.

Hướng dẫn giải

Gọi số công nhân cần để hoàn thành hợp đồng trong 14 ngày là x (x > 0)

Vì khối lượng công việc không đổi và năng suất của mỗi người là như nhau nên số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên theo tính chất của 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có: 56.21 = x.14 nên x = \(\frac{{56.21}}{{14}} = 84\)

Số công nhân cần tăng thêm là:

84 – 56 = 28 (người)

Qua bài giảng này giúp các em học sinh:

- Ôn tập và hệ thống lại các kiến thức trọng tâm của chương.

- Áp dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập một cách dễ dàng.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Cánh diều Bài tập cuối chương 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

  • A. Nếu a ∈ Q thì a không thể là số vô tỉ;
  • B. Nếu a ∈ Z thì a không thể là số vô tỉ;
  • C. Nếu a ∈ N thì a không thể là số vô tỉ;
  • D. Nếu a ∈ R thì a không thể là số vô tỉ;

• Câu 2:

  Giá trị của biểu thức \(\left( { - 12.} \right)\sqrt {0,36}  - \left( { - 7,2} \right)\) là:

  • A. 0;
  • B. \(- \frac{{64}}{5};\)
  • C. \(\frac{{64}}{5};\) 
  • D. \( - \frac{{136}}{5}.\) 

• Câu 3:

  Có bao nhiêu giá trị của x thoả mãn \(\sqrt {2x + 3}  = 25\)?

  • A. 0;
  • B. 1;
  • C. 2;
  • D. 311.

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Bài tập cuối chương 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Giải bài 1 trang 69 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 69 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 69 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 69 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 69 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 6 trang 69 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 7 trang 69 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 8 trang 69 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 9 trang 69 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 10 trang 70 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 11 trang 70 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 12 trang 70 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 13 trang 70 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 14 trang 70 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 15 trang 70 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 16 trang 70 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 17 trang 70 SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 72 trang 64 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 73 trang 64 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 74 trang 64 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 75 trang 64 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 76 trang 64 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 77 trang 64 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 78 trang 65 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 79 trang 65 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 80 trang 65 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 81 trang 65 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 82 trang 65 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 83 trang 65 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 84 trang 66 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 85 trang 66 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 86 trang 66 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 87 trang 66 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 88 trang 66 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 89 trang 66 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 90 trang 67 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 91 trang 67 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 92 trang 67 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 93 trang 67 SBT Toán 7 Cánh diều tập 1 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!