Toán 7 Kết nối tri thức Bài 34: Sự đồng quy của ba trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

a) Đường trung tuyến của ba đường trung tuyến

Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC (Hình bên).

b) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

Định lí 1

Chẳng hạn, trong tam giác ABC (hình sau), các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G và ta có

\(\frac{{GA}}{{MA}} = \frac{{GB}}{{NB}} = \frac{{GC}}{{PC}} = \frac{2}{3}\)

Chú ý: Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với AM là trung tuyến và G là trọng tâm tam giác.

a) Chứng minh GA = 2GM.

b) Biết GM = 2 cm, tính GA.

Giải

Chứng minh

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

\(\frac{{GA}}{{MA}} = \frac{2}{3}\) hay \(GA = \frac{2}{3}MA\).

Ta có: \(GM = MA - GA = MA - \frac{2}{3}MA = \frac{1}{3}MA\)

Vậy \(GA = \frac{2}{3}MA = 2.\left( {\frac{1}{3}MA} \right) = 2GM.\)

b) Khi GM = 2 cm thì GA = 4 cm.

a) Đường trung tuyến của tam giác

Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh 8C tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC (Hình sau).

b) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

Định lí 2

Chẳng hạn, trong tam giác ABC (Hình sau), các đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại I và IH = IK = IL.

Ví dụ: Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, giao điểm của ba đường phân giác nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A (Hình sau).

Giải

Chứng minh

Gọi M là giao điểm của đường thẳng AI và BC.

Hai tam giác ABM và ACM có:

AB= AC (gt),

AM chung,

\(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (do AI là đường phân giác của góc BAC).

Do đó \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (c.g.c).

Suy ra BM = CM hay Mlà trung điểm của BC.

Vậy AI là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Câu 1: Trong tam giác ABC ở ví dụ 1, cho trung tuyến BN và GN = 1 cm. Tính GB và NB.

Hướng dẫn giải

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GB = \(\frac{2}{3}\) BN => GN = \(\frac{1}{3}\) BN

Ta có GN = 1 cm => BN = 3 GN = 3.1 = 3 cm

=> GB = \(\frac{2}{3}\) BN = \(\frac{2}{3}\) . 3= 2 cm

Vậy BN= 3 cm và GB = 2 cm

Câu 2: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại điểm I. Hỏi CI có là đường phân giác của góc C không ?

Hướng dẫn giải

Gọi IP là khoảng cách từ I đến BC, IQ là khoảng cách từ I đến AC

Có AM và BN là hai đường phân giao nhau tại I => I cách đều AC vad Bc => IP = IQ

Xét ∆ IPC và ∆ IQC ta có:

Chung cạnh IC

IP = IQ

=> ∆ IPC = ∆ IQC 

=> \(\widehat{ICP}\) = \(\widehat{ICQ}\)

=> CI là đường phân giác của \(\widehat{C}\)

Qua bài giảng ở trên, giúp các em học sinh:

- Nhận biết đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác.

- Nhận biết sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác.

- Nhận biết sự đồng quy của ba đường phân giác trong một tam giác.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Kết nối tri thức Chương 9 Bài 34 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Chọn câu đúng

  • A. Trong một tam giác, đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện là đường trung tuyến của tam giác
  • B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm
  • C. Trọng tâm của tam giác đó là giao của ba đường trung tuyến
  • D. Cả A, B, C đều đúng

• Câu 2:

  Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng ... độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"

  • A. \(\frac{2}{3}\) 
  • B. \(\frac{3}{2}\) 
  • C. 3
  • D. 2

• Câu 3:

  Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác, N là trung điểm AC. Khi đó BG = ... BN. Số thích hợp điền vào chỗ trống là :

  • A. \(\frac{2}{3}\) 
  • B. \(\frac{3}{2}\) 
  • C. 3
  • D. 2

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 7 Kết nối tri thức Chương 9 Bài 34 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Câu hỏi trang 72 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 1 trang 72 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 2 trang 73 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Tranh luận trang 74 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Vận dụng 1 trang 74 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Câu hỏi trang 74 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 3 trang 74 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 2 trang 75 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Vận dụng 2 trang 75 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 9.20 trang 76 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 9.21 trang 76 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 9.22 trang 76 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 9.23 trang 76 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 9.24 trang 76 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 9.25 trang 76 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 9.14 trang 55 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 9.15 trang 55 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 9.15 trang 55 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 9.16 trang 55 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 9.17 trang 55 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 9.18 trang 55 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!