Bài tập 3.45 trang 181 SBT Toán 12
Tính các tích phân sau:
a) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \cos 2x.{\cos ^2}xdx\)
b) \(\int \limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 1}}dx\)
c) \(\int \limits_0^1 \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1)dx\)
d) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{x\sin x + (x + 1)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx\)
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Ta có: \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\)
\( \Rightarrow \cos 2x.{\cos ^2}x = \frac{1}{2}\cos 2x\left( {1 + \cos 2x} \right)\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\\
= \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\left( {1 + \cos 4x} \right)\\
= \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\cos 4x + \frac{1}{4}
\end{array}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}
\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \cos 2x.{\cos ^2}xdx\\
= \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\cos 4x + \frac{1}{4}} \right)dx\\
= \left. {\left( {\frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\
= \frac{1}{4} + \frac{\pi }{{16}}
\end{array}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 1}} = \frac{{{e^x}}}{{\left( {{e^x} - 1} \right)\left( {{e^x} + 1} \right)}}\\
= \frac{1}{2}\left( {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}} - \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right)
\end{array}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}
\int \limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 1}}dx = \frac{1}{2}\int \limits_{\frac{1}{2}}^1 \left( {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}} - \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right)dx\\
= \frac{1}{2}\left[ {\int \limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}}dx - \int \limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}dx} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\int \limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{{d\left( {{e^x}} \right)}}{{{e^x} - 1}} - \int \limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{{d\left( {{e^x}} \right)}}{{{e^x} + 1}}} \right]\\
= \frac{1}{2}\left. {\left[ {\ln \left| {{e^x} - 1} \right| - \ln \left| {{e^x} + 1} \right|} \right]_{\frac{1}{2}}^1} \right|\\
= \frac{1}{2}\left. {\left[ {\ln \left| {\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^x} + 1}}} \right|} \right]} \right|_{\frac{1}{2}}^1\\
= \frac{1}{2}\left( {\ln \frac{{e - 1}}{{e + 1}} - \ln \frac{{\sqrt e - 1}}{{\sqrt e + 1}}} \right)\\
= \frac{1}{2}\ln \frac{{\left( {e - 1} \right)\left( {\sqrt e + 1} \right)}}{{\left( {e + 1} \right)\left( {\sqrt e - 1} \right)}}
\end{array}\)
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{x + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\
= \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}
\end{array}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}
\int \limits_0^1 \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1)dx\\
= \int \limits_0^1 \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}dx + \int \limits_0^1 \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx\\
= I + J
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
I = \int \limits_0^1 \ln \left( {x + 1} \right)d\left( {\ln \left( {x + 1} \right)} \right)\\
= \left. {\frac{{{{\ln }^2}\left( {x + 1} \right)}}{2}} \right|_0^1 = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}
\end{array}\)
Tính \(J = \int \limits_0^1 \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {x + 1} \right)\\
dv = \frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}
\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{{x + 1}}dx\\
v = - \frac{1}{{x + 1}}
\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow J = - \left. {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \\
= - \frac{{\ln 2}}{2} - \left. {\frac{1}{{x + 1}}} \right|_0^1\\
= - \frac{{\ln 2}}{2} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{{\ln 2}}{2}
\end{array}\)
Vậy:
\(\begin{array}{l}
\int \limits_0^1 \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1)dx\\
= \frac{{{{\ln }^2}2 - \ln 2 + 1}}{2}
\end{array}\)
d) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{x\sin x + (x + 1)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\\
= \frac{{\left( {x\sin x + \cos x} \right) + x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\\
= 1 + \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}
\end{array}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}
\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{x\sin x + (x + 1)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx\\
= \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {1 + \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}} \right)dx\\
= \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} dx + \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx\\
= \frac{\pi }{4} + I
\end{array}\)
với \(I = \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx\)
Đặt \(x\sin x + \cos x = u\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow du = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx\\
= x\cos xdx
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow I = \int \limits_1^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)} \frac{{du}}{u} = \left. {\ln \left| u \right|} \right|_1^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)}\\
= \ln \left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)} \right]\\
= \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \ln \left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)\\
= \ln \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{1}{2}\ln 2
\end{array}\)
Vậy
\(\begin{array}{l}
\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{x\sin x + (x + 1)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx\\
= \frac{\pi }{4} + \ln \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{1}{2}\ln 2
\end{array}\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
Bài tập SGK khác
Bài tập 3.43 trang 180 SBT Toán 12
Bài tập 3.44 trang 180 SBT Toán 12
Bài tập 3.46 trang 181 SBT Toán 12
Bài tập 3.47 trang 181 SBT Toán 12
Bài tập 3.48 trang 181 SBT Toán 12
Bài tập 3.49 trang 182 SBT Toán 12
Bài tập 3.50 trang 182 SBT Toán 12
Bài tập 3.51 trang 182 SBT Toán 12
Bài tập 3.52 trang 182 SBT Toán 12
Bài tập 3.53 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.54 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.55 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.56 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.67 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.58 trang 184 SBT Toán 12
-
Hãy tính: \(\displaystyle\int {{1 \over {(x + 1)(2 - x)}}} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tính: \(\displaystyle\int {{1 \over {\sqrt {1 + x} + \sqrt x }}} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tính: \(\displaystyle\int {{1 \over {{{(\sin x + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2}}}} dx\).
bởi thủy tiên 05/05/2021
Hãy tính: \(\displaystyle\int {{1 \over {{{(\sin x + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2}}}} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tính: \(\displaystyle\int {{{{e^{3x}} + 1} \over {{e^x} + 1}}} dx\).
bởi Lê Chí Thiện 05/05/2021
Hãy tính: \(\displaystyle\int {{{{e^{3x}} + 1} \over {{e^x} + 1}}} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Hãy tính: \(\displaystyle\int {{{{{(x + 1)}^2}} \over {\sqrt x }}} dx\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tính: \(\int {(2 - x)\sin {\rm{x}}dx} \).
bởi Thanh Truc 06/05/2021
Hãy tính: \(\int {(2 - x)\sin {\rm{x}}dx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f(x) = (e^x- 1)^3\).
bởi My Van 06/05/2021
Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f(x) = (e^x- 1)^3\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời