Bài tập 3.54 trang 183 SBT Toán 12
Nhờ ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. \(\displaystyle \int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx} > \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx} \)
B. \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}xdx} < \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \)
C. \(\displaystyle \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx} > \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right)}^2}dx} \)
D. \(\displaystyle \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx} > \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}dx} \)
Hướng dẫn giải chi tiết
Đáp án A:
Xét \(\displaystyle I = \int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_0^1 {\left( {\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{{x - 1}}{{e - 1}}} \right)dx} \)
Dễ thấy trong \(\displaystyle \left[ {0;1} \right]\) thì:
\(\displaystyle \ln \left( {x + 1} \right) \ge 0 \ge \frac{{x - 1}}{{e - 1}}\)\(\displaystyle \Rightarrow \ln \left( {x + 1} \right) - \frac{{x - 1}}{{e - 1}} \ge 0\)\(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{{x - 1}}{{e - 1}}} \right)dx} > 0\)
\(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx} > 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx} > \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx} \) hay A đúng.
Đáp án B: Xét \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}xdx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \)\(\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\sin }^2}x - \sin 2x} \right)dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x\left( {\sin x - 2\cos x} \right)dx} \)
Trong đoạn \(\displaystyle \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\) thì \(\displaystyle 0 \le \sin x \le \frac{{\sqrt 2 }}{2} \le \cos x \le 1\) \(\displaystyle \Rightarrow \sin x - 2\cos x < 0\)
\(\displaystyle \Rightarrow \sin x\left( {\sin x - 2\cos x} \right) \le 0\) \(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x\left( {\sin x - 2\cos x} \right)dx} < 0\)\(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}xdx} < \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \) hay B đúng.
Đáp án D: Xét \(\displaystyle \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx} - \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}dx} \)\(\displaystyle = \int\limits_0^1 {\left( {{e^{ - {x^2}}} - {e^{ - {x^3}}}} \right)dx} \)
Trong đoạn \(\displaystyle \left[ {0;1} \right]\) thì \(\displaystyle {x^2} \ge {x^3} \Rightarrow - {x^2} \le - {x^3}\) \(\displaystyle \Rightarrow {e^{ - {x^2}}} \le {e^{ - {x^3}}} \Rightarrow {e^{ - {x^2}}} - {e^{ - {x^3}}} \le 0\)
\(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {{e^{ - {x^2}}} - {e^{ - {x^3}}}} \right)dx} < 0\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx} < \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}dx} \) hay D sai.
Chọn D.
-- Mod Toán 12 HỌC247
Bài tập SGK khác
-
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=4/x, trục hoành
bởi Nguyễn Mai Hồng Ân 27/03/2019
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=4/x, trục hoành và các đường thẳng x=1,x=4 quanh Ox.
Theo dõi (0) 3 Trả lời -
Tính giá trị I=tích phân từ 0 đến 2 của f(x).g'(x)dx biết hàm số f(x) và g(x) liên tục
bởi Nguyễn Ngọc Phương Thanh 03/03/2019
Cho hàm số f(x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên R và thỏa mãn f'(0).f'(2) khác 0 và g(x).f'(x)=x(x-2). tính giá trị
Theo dõi (0) 6 Trả lời -
Tính diện tích S của hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường y=x^2-2x+2
bởi Nguyễn Ngọc Phương Thanh 10/02/2019
tính diện tích S của hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường y=(P) và các tiếp tuyến của (P) qua điểm A(2;-2)
Theo dõi (1) 3 Trả lời -
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1/(2e^x+3)
bởi Lê Thị Thủy Tiên 23/01/2019
- cho F(x) là một nguyên hàm của àm số f(x)= thỏa mãn F(0)=10 tìm F(x)
A. F(x)=
B.
C.
D.
Theo dõi (0) 3 Trả lời -
ADMICRO
Tìm nguyên hàm của x.sin căn(1+x^2)
bởi Hồ Hoàng Khiêm 17/01/2019
xin các thầy cô chỉ em với
Theo dõi (0) 3 Trả lời -
Tính tích phân từ 0 đến ln2 của 1/(e^x+5)dx
bởi Nguyễn NGọc 11/01/2019
tính tích phân
Theo dõi (1) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm của hàm số y=(1+sinx)^2
bởi Hồ Hoàng Khiêm 11/01/2019
nguyên hàm của hàm số y=(1+sinx)2
Theo dõi (1) 2 Trả lời