Bài tập 2.2 trang 47 SBT Hình học 12

a) Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân cạnh a nên hình nón có đường sinh l = a, có đường kính đáy \(a\sqrt 2 \) nên bán kính đáy \(r = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), và có chiều cao \(h = r = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Gọi S_xq là diện tích xung quanh của hình nón, ta có: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\)

Gọi S là diện tích đáy của hình nón, ta có \({S_d} = \pi {r^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{2}\)

Vậy diện tích toàn phần của hình nón đã cho là:

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \frac{1}{2}\pi {a^2}\sqrt 2  + \frac{1}{2}\pi {a^2} = \frac{1}{2}\pi {a^2}\left( {\sqrt 2  + 1} \right)\)

Hình nón có thể tích là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2} = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{12}}\pi {a^3}\sqrt 2 \)

b) Xét mặt phẳng (DAM) đi qua đỉnh D tạo với mặt phẳng đáy một góc 60⁰, cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và M.

Từ tâm O của đường tròn đáy ta vẽ \(OH \bot AM\), do vậy H là trung điểm của đoạn AM. Ta có \(AM \bot (DOH)\) vì \(AM \bot OH\) và \(AM \bot DO\).

Vậy \(\widehat {DHO} = {60^0}\) và \(\sin {60^0} = \frac{{DO}}{{DH}}\) hay \(DH = \frac{{DO}}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

Gọi \({S_{{\rm{\Delta }}DAM}}\) là diện tích thiết diện cần tìm, ta có: \({S_{{\rm{\Delta }}DAM}} = \frac{1}{2}AM.DH = AH.DH\)

Mà \(A{H^2} = D{A^2} - D{H^2} = {a^2} - \frac{{2{a^2}}}{3} = \frac{{{a^2}}}{3}\)

Vậy \({S_{{\rm{\Delta }}DAM}} = AH.DH = \frac{a}{{\sqrt 3 }}.\frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247