Bài tập 20 trang 60 SGK Hình học 12 NC

a) Cho hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn (O; r).

Tâm I của mặt cầu nội tiếp hình nón nằm trên SO. Lấy điểm A cố định trên (O; r) thì I là giao điểm của SO với đường phân giác trong của góc A của ΔSAO. I hoàn toàn xác định và là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón, bán kính mặt cầu là R = IO.

b) Ta có: \(SA = \sqrt {O{S^2} + O{A^2}}  = \sqrt {{h^2} + {r^2}} \)

Theo tính chất đường phân giác ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{IO}}{{IS}} = \frac{{OA}}{{SA}} \Rightarrow \frac{{SA}}{{SI}} = \frac{{OA}}{{IO}} = \frac{{SA + OA}}{{SI + IO}}}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{IO}}{{IO + IS}} = \frac{{OA}}{{OA + SA}}\\
 \Rightarrow \frac{{IO}}{h} = \frac{r}{{r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}
\end{array}
\end{array}\)

Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp: 

\(R = IO = \frac{r}{{r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247