Giải bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 2 Phương trình lượng giác cơ bản

Giải các phương trình sau:

a)  \(\small sin (x + 2) =\frac{1}{3}\) 

b) \(\small sin 3x = 1\) 

c) \(\small sin (\frac{2x}{3} -\frac{\pi}{3}) =0\)

d) \(\small sin (2x + 20^0) =-\frac{\sqrt{3}}{2}\) 

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau?

Giải các phương trình sau:

a) \(\small cos (x - 1) =\frac{2}{3}\)                      

b) \(\small cos 3x = cos 12^0\) 

c)  \(\small cos (\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}\)                

d) \(\begin{array}{l} \,\,{\cos ^2}2x = \frac{1}{4}
\end{array}\)

Giải phương trình sau

 \(\small \frac{2cos2x}{1-sin2x}=0\)

Giải các phương trình sau:

a) \(\small tan (x - 150) = \frac{\sqrt{3}}{3}\);

b) \(\small cot (3x - 1) = -\sqrt{3}\); 

c) \(\small cos 2x . tan x = 0\);

d) \(\small sin 3x . cot x = 0\).

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số \(\small y = tan ( \frac{\pi}{4}- x)\) và \(\small y = tan2x\)  bằng nhau?

Giải các phương trình sau:

a) \(sin 3x - cos 5x = 0\);

b) \(\small tan 3x . tan x = 1\).

Giải các phương trình:

a) \(\sin 3x =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

b) \(\sin (2x - {15^o}) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

c) \(\sin (\frac{x}{2} + {10^o}) =  - \frac{1}{2}\)

d) \(\sin 4x = \frac{2}{3}\)

Giải các phương trình:

a) \(\cos (x + 3) = \frac{1}{3}\)

b) \(\cos (3x - {45^o}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

c) \(\cos (2x + \frac{\pi }{3}) =  - \frac{1}{2}\)

d) \((2 + \cos x)(3\cos 2x - 1) = 0\)

Giải các phương trình:

a) tan(2x+45^o) = −1

b) \(\cot(x + \frac{\pi }{3}) = \sqrt 3 \)

c) \(\tan \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \tan \frac{\pi }{8}\)

d) \(\cot (\frac{x}{3} + {20^o}) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)

Giải các phương trình

a) cos3x−sin2x = 0

b) tanx.tan2x = −1

c) sin3x+sin5x = 0

d) cot2x.cot3x = 1.

Nghiệm của phương trình \(\sin 5x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) là

A. \(\frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) và \(\frac{{4\pi }}{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) (\(k\in Z\))

B. \(\frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) và \(\frac{\pi }{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) (\(k\in Z\))

C. \(\frac{\pi }{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) và \(\frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) (\(k\in Z\))

D. \(\frac{\pi }{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) và \(\frac{{4\pi }}{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) (\(k\in Z\))

Nghiệm của phương trình \(\cot \left( {2x - {{30}^0}} \right) = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\)

A. 30^ο + k90^ο (k ∈ Z )

B. 75^ο + k90^ο (k ∈ Z )

C. 45^ο + k90^ο (k ∈ Z )

D. - 75^ο + k90^ο (k ∈ Z )

Nghiệm của phương trình \(\tan x + \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + 2 = 0\) là: 

A. \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \) và \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) (\(k\in Z\))

B. \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \) (\(k\in Z\))

C. \(x =  \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \) (\(k\in Z\))

D. \(x =  \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \) (\(k\in Z\))

Nghiệm của phương trình sin3x.cosx - sin4x = 0 là

A. \(k\pi \) và \(\frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)\)

B. \(\frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

C. \(\frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

D. \(\frac{\pi }{3} + k2\pi \) và \(\frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Nghiệm của phương trình cos2x. cos4x = 1 thuộc đoạn [-π; π] là:

A. \( - \frac{\pi }{2}\), 0 và π             B. 0, \(\frac{\pi }{2}\) và π

C. - π, 0 và π             D. \( - \frac{\pi }{2}\), \( - \frac{\pi }{2}\) và π

Nghiệm của phương trình tanx. cot3x = -1 thuộc đoạn [0; \(\frac{{3\pi }}{2}\)] là:

A. \(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\)

B. \(\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{4},\pi \)

C. \(\frac{\pi }{6},\frac{{3\pi }}{4},\frac{{5\pi }}{4}\)

D. \(\frac{\pi }{4},\frac{{3\pi }}{4},\frac{{5\pi }}{4}\)

Nghiệm lớn nhất của phương trình sin3x - cosx = 0 thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) là:

A. \(\frac{{3\pi }}{2}\)

B. \(\frac{{4\pi }}{2}\)

C. \(\frac{{3\pi }}{2}\)             

D. π

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin 4x = \sin \frac{\pi }{5}\)

b) \(\sin \left( {\frac{{x + \pi }}{5}} \right) =  - \frac{1}{2}\)

c) \(\cos \frac{x}{2} = \cos \sqrt 2 \)

d) \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{{18}}} \right) = \frac{2}{5}\)

a. Vẽ đồ thị của hàm số y = sinx rồi chỉ ra trên đồ thị đó các điểm có hoành độ thuộc khoảng (−π;4π) là nghiệm của mỗi phương trình sau :

1.  \(\sin x =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

2. sinx = 1

b. Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cosx đối với mỗi phương trình sau

1.  \(\cos x = \frac{1}{2}\)

2. cosx = −1.

Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho

a.  \(\sin 2x =  - \frac{1}{2}\) với 0 < x < π

b.  \(\cos \left( {x - 5} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) với −π < x < π

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40˚ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

\(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\) với \(t \in Z,0 < t \le 365\).

a. Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

b. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

c. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

Giải các phương trình sau:

a) \(\tan 3x = \tan \frac{{3\pi }}{5}\)

b) \(\tan \left( {x - {{15}^0}} \right) = 5\)

c) \(\tan \left( {2x - 1} \right) = \sqrt 3 \)

d) \(\cot 2x = \cot \left( { - \frac{1}{3}} \right)\)

e) \(\cot \left( {\frac{x}{4} + {{20}^0}} \right) =  - \sqrt 3 \)

f) \(\cot 3x = \tan \frac{{2\pi }}{5}\)

a. Vẽ đồ thị của hàm số y = tanx rồi chỉ ra trên đồ thị đó có các điểm có hoành độ thuộc khoảng (−π;π) là nghiệm của mỗi phương trình sau

1. tanx = −1

2. tanx = 0

b. Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cotx và cho mỗi phương trình sau

1.  \(\cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

2. cotx = 1

Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho

a. tan(2x−15⁰) = 1 với −180⁰ < x < 90⁰;

b. \(\cot 3x =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với . 

Khi giải phương trình \(\tan x = \sqrt 3 \); bạn Phương nhận thấy \( - \sqrt 3  = \tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\) và viết \(\tan x =  - \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \).

Cũng phương trình đó, bạn Quyên lấy \( - \sqrt 3  = \tan \frac{{2\pi }}{3}\) nên giải như sau:

\(\begin{array}{l}
\tan x =  - \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{{2\pi }}{3}\\
 \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi 
\end{array}\)

Theo em, ai giải đúng, ai giải sai ?

Tính các góc của tam giác ABC, biết \(AB = \sqrt 2 cm,AC = \sqrt 3 cm\) và đường cao AH = 1cm. (Gợi ý: Xét trường hợp B, C nằm khác phía đối với H và trường hợp B, C nằm cùng phía đối với H).

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \frac{{1 - \cos x}}{{2\sin x + \sqrt 2 }}\)

b) \(y = \frac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{\cos 2x - \cos x}}\)

c) \(y = \frac{{\tan x}}{{1 + \tan x}}\)

d) \(y = \frac{1}{{\sqrt 3 \cot 2x + 1}}\)

Giả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-vơ-ran (Canaveral) ở Mĩ. Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên một bản đồ phẳng (quanh đường xích đạo) của mặt đất

như hình 1.23: điểm M mô tả cho con tàu, đường thẳng Δ mô tả cho đường xích đạo.

Khoảng cách h (kilomet) từ M đến Δ được tính theo công thức h = |d|, trong đó:

\(d = 400\cos \left[ {\frac{\pi }{{45}}\left( {t - 10} \right)} \right]\)

Với t (phút) là thời gian trôi qua kể từ khi con tàu đi vào quỹ đạo, d > 0 nếu M ở phía trên Δ, d < 0 nếu M ở phía dưới Δ.

a. Giả thiết rằng con tàu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên tại mũi Ca-na-vơ-ran (tức là ứng với t = 0). Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng Δ, trong đó C là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca-na-vơ-ran.

b. Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = 2000.

c. Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = −1236.

(Tính chính xác các kết quả đến hàng phần nghìn).

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m; trục của nó đặt cách mặt nước 2m (h.1.24). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h = |y|, trong đó

\(y = 2 + 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right]\)

Với x là thời gian quay guồng (x ≥ 0), tính bằng phút ; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở bên trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước (xem bài đọc thêm về dao động điều hòa trang 15). Hỏi :

a. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất ?

b. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất ?

c. Chiếc gầu cách mặt nước 2m lần đầu tiên khi nào ?

Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, giải các phương trình sau:

a) \(\cos 3x = \sin 2x\)

b) \(\sin \left( {x - {{120}^0}} \right) - \cos 2x = 0\)