Bài tập 1.17 trang 24 SBT Toán 11

a) cos3x−sin2x = 0

⇔ cos3x = sin2x

\( \Leftrightarrow \cos 3x = \cos (\frac{\pi }{2} - 2x)\)

\( \Leftrightarrow 3x =  \pm (\frac{\pi }{2} - 2x) + k2\pi ,k \in Z\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z\\
x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z
\end{array} \right.\)

b) 

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x \ne 0}\\
{\cos 2x \ne 0}
\end{array}} \right.\)

tanx.tan2x = −1

\( \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} =  - 1\)

\(\, \Rightarrow \sin x\sin 2x =  - \cos x\cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \cos x\cos 2x + \sin x\sin 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos (2x - x) = 0\)

⇔ cosx = 0

Kết hợp với điều kiện khi đó phương trình vô nghiệm.

c) sin3x+sin5x = 0

⇔ sin5x = −sin3x

⇔ sin5x = sin(−3x)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5x =  - 3x + k2\pi ,k \in Z}\\
{5x = \pi  - ( - 3x) + k2\pi ,k \in Z}
\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\frac{\pi }{4},k \in Z\\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z
\end{array} \right.\)

d) ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin 2x \ne 0}\\
{\sin 3x \ne 0}
\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x \ne m\pi ,m \in Z}\\
{3x \ne m\pi ,m \in Z}
\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne m\frac{\pi }{2},m \in Z}\\
{x \ne m\frac{\pi }{3},m \in Z}
\end{array}} \right.\)

Ta có: cot2x.cot3x = 1

\( \Leftrightarrow \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}.\frac{{\cos 3x}}{{\sin 3x}} = 1\)

⇒cos2x.cos3x = sin2x.sin3x

⇔ cos2xcos3x−sin2xsin3x = 0

⇔ cos(2x+3x) = 0

⇔ cos5x = 0

\( \Leftrightarrow 5x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{5},k \in Z\)

Với điều kiện ở trên khi đó:

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{5} \ne m\frac{\pi }{2},m \in Z}\\
{\frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{5} \ne m\frac{\pi }{3},m \in Z}
\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne \frac{{5m - 1}}{2},m \in Z\\
k \ne \frac{{10m - 3}}{6},m \in Z
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{5},k \in Z\)

với \(k \ne \frac{{5m - 1}}{2}\) và \(k \ne \frac{{10m - 3}}{6},m \in Z\).

-- Mod Toán 11 HỌC247