Bài tập 5 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11

Phương pháp:

Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C):\)

Bước 1: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại \(M_0\) là \(k=f'(x_0)\)

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là: \(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y=f(x) khi biết hệ số k, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).

Bước 2: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Bước 3: Giải phương trình \(k=f'(x_0)\) tìm \(x_0\), rồi tìm \(y_0=f(x_0).\)

Bước 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k là: \(y = k(x - {x_0}) + {y_0}.\)

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c bài 5 như sau:

Ta có:

\(\begin{array}{l} y = {x^3}\\ \Delta y = {(x + \Delta x)^3} - {x^3}\\ = {x^3} + 3{x^2}\Delta x + 3x{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3} - {x^3}\\ = 3{x^2}\Delta x + 3x{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3{x^2} + 3x\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2}\\ y'(x)= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3{x^2} \end{array}\)

Câu a:

Với \(x_0=-1\Rightarrow y'(-1)=3.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3\) tại điểm (-1;-1) là:

\(y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)\) hay \(y+1=3(x+1)\Leftrightarrow y=3x+2\)

Câu b:

Với \(x_0=2\Rightarrow y'(2)=12\) và \(y_0=f(2)=8\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^3\) tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

\(y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)\) hay 

\(y-8=12(x-2)\Leftrightarrow y=12x-16.\)

Câu c:

Do hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3, nên 

\(f' (x_0) = 3 \Leftrightarrow 3x_0^2 = 3 \Leftrightarrow x_0^2= 1 \Leftrightarrow x_0 = \pm 1.\)

Với \(x_0 = 1 \Rightarrow y_0=1\)

Nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y-1=3(x-1)\) hay \(y=3x-2.\)

Với \(x_0 = -1 \Rightarrow y_0=-1\)

Nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y+1=3(x+1)\) hay \(y=3x+2.\)

-- Mod Toán 11 HỌC247