Bài tập 5.10 trang 199 SBT Toán 11

Điểm có hoành độ x = 0 thì có tung độ \({y_0} = \frac{5}{2}\)

Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 bằng định nghĩa

Ta có 

\(\begin{array}{l}
{\rm{\Delta }}y = f\left( {{\rm{\Delta }}x} \right) - f\left( 0 \right) = \frac{{{{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)}^2} + 4{\rm{\Delta }}x + 5}}{{{\rm{\Delta }}x + 2}} - \frac{5}{2}\\
 = \frac{{2{{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)}^2} + 8{\rm{\Delta }}x + 10 - 5{\rm{\Delta }}x - 10}}{{2\left( {{\rm{\Delta }}x + 2} \right)}}\\
 = \frac{{2{{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)}^2} + 3{\rm{\Delta }}x}}{{2\left( {{\rm{\Delta }}x + 2} \right)}}
\end{array}\)

Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{\frac{{2{{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)}^2} + 3{\rm{\Delta }}x}}{{2\left( {{\rm{\Delta }}x + 2} \right)}}}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{2{\rm{\Delta }}x + 3}}{{2\left( {{\rm{\Delta }}x + 2} \right)}}\)

Vậy \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \frac{{2{\rm{\Delta }}x + 3}}{{2\left( {{\rm{\Delta }}x + 2} \right)}} = \frac{3}{4}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x = 0 là

\(y - \frac{5}{2} = \frac{3}{4}x \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2}\)

Chọn D.

-- Mod Toán 11 HỌC247