Bài tập 5.11 trang 199 SBT Toán 11

Giả sử Δx là số gia đối số tại x₀

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{\rm{\Delta }}y = \sqrt {2\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1}  - \sqrt {2{x_0} + 1} \\
 = \frac{{2\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1 - \left( {2{x_0} + 1} \right)}}{{\sqrt {2\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1}  + \sqrt {2{x_0} + 1} }}\\
 = \frac{{2{\rm{\Delta }}x}}{{\sqrt {2\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1}  + \sqrt {2{x_0} + 1} }}
\end{array}\)

Suy ra 

\(\begin{array}{l}
\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\frac{{2\Delta x}}{{\sqrt {2\left( {{x_0} + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {2{x_0} + 1} }}}}{{\Delta x}}\\
 = \frac{2}{{\sqrt {2\left( {{x_0} + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {2{x_0} + 1} }}\\
 \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2}{{\sqrt {2\left( {{x_0} + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {2{x_0} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {2{x_0} + 1} }}
\end{array}\)

Vì hệ số góc của tiếp tuyến là \(\frac{1}{3}\) nên ta có

\({\frac{1}{{\sqrt {2{x_0} + 1} }} = \frac{1}{3} \Rightarrow 2{x_0} + 1 = 9 \Leftrightarrow {x_0} = 4 \Rightarrow {y_0} = 3}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của hàm số là 

\(y - 3 = \frac{1}{3}\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}\)

Chọn C.