Bài tập 5.6 trang 198 SBT Toán 11

Giải bài 5.6 tr 198 SBT Toán 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị các hàm số

a) $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ tại điểm (−1;−2)

b) $y = {x^4} - 2{x^2}$ tại điểm có hoành độ x = −2

c) $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}$ biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5

QUẢNG CÁO

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Tính đạo hàm của hàm số tại bằng định nghĩa:

Giả sử là số gia của đối số tại ${x_0} = - 1$. Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta y = f( - 1 + \Delta x) - f( - 1)\\
= {( - 1 + \Delta x)^3} - 3{( - 1 + \Delta x)^2} + 2 - ( - 2)\\
= - 1 + 3\Delta x - 3{(\Delta x)^2} + {(\Delta x)^3} - 3[1 - 2\Delta x + {(\Delta x)^2}] + 4\\
= {(\Delta x)^3} - 6{(\Delta x)^2} + 9\Delta x\\
\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = {(\Delta x)^2} - 6\Delta x + 9\\
\Rightarrow y\prime ( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} [{(\Delta x)^2} - \Delta x + 9] = 9
\end{array}$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là

${y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) \Leftrightarrow y + 2 = 9\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = 9x + 7}$

b) Điểm có hoành độ bằng thì có tung độ là 8

Giả sử là số gia của đối số tại ${x_0} = - 2$. Ta có:

$\begin{aligned} \end{aligned}$

$\begin{array}{l}
\Delta y = {( - 2 + \Delta x)^4} - 2{( - 2 + \Delta x)^2} - 8\\
= 16 - 32\Delta x + 24{(\Delta x)^2} - 8{(\Delta x)^3} + {(\Delta x)^4} - 8 + 8\Delta x - 2{(\Delta x)^2} - 8\\
= {(\Delta x)^4} - 8{(\Delta x)^3} + 22{(\Delta x)^2} - 24\Delta x\\
\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = {(\Delta x)^3} - 8{(\Delta x)^2} + 22\Delta x - 24\\
\Rightarrow y\prime ( - 2) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} [{(\Delta x)^3} - 8{(\Delta x)^2} + 22\Delta x - 24] = - 24
\end{array}$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là

$\begin{array}{l}
y - {y_o} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\\
\Leftrightarrow y - 8 = - 24\left( {x + 2} \right)\\
\Leftrightarrow y = - 24x - 40
\end{array}$

c) Giả sử là số gia đối số tại điểm

Ta có:

$\begin{aligned} \end{aligned}$

$\begin{array}{l}
\Delta y = \frac{{2(\Delta x + {x_0}) + 1}}{{\Delta x + {x_0} - 2}} - \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 2}}\\
= \frac{{(2\Delta x + 2{x_0} + 1)({x_0} - 2) - (\Delta x + {x_0} - 2)(2{x_0} + 1)}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}\\
= \frac{{ - 5\Delta x}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}
\end{array}$

Suy ra

$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\frac{{ - 5\Delta x}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}}}{{\Delta x}} = \frac{{ - 5}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}$

$ \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{{ - 5}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}} \right] = - \frac{5}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}$

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tương đương với

$\begin{array}{l}
y'\left( {{x_0}} \right) = - 5 \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} = - 5\\
\Rightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 7\\
{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = - 3
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng là

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 5.6 trang 198 SBT Toán 11 HAY thì click chia sẻ