Bài tập 3.9 trang 117 SBT Toán 11

a) \(\frac{1}{{10}},\frac{1}{{{{10}^3}}},\frac{1}{{{{10}^5}}},\frac{1}{{{{10}^7}}},\frac{1}{{{{10}^9}}}\). Dự đoán dãy (u_n) giảm. 

Để chứng minh, ta xét tỉ số \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{10}^{1 - 2\left( {n + 1} \right)}}}}{{{{10}^{1 - 2n}}}} = \frac{1}{{{{10}^2}}} < 1\). Vậy dãy số giảm.

b) - 4, 2, 20, 74, 236. Xét dấu của hiệu u_{n + 1} - u_n, ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {3^{n + 1}} - 7 - \left( {{3^n} - 7} \right) = {2.3^n} > 0\). Vậy dãy số tăng.

c) \(3,\frac{3}{4},\frac{3}{9},\frac{3}{{16}},\frac{3}{{25}}\).

\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \frac{{2n + 1}}{{{n^2}}} = \frac{2}{{n + 1}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}\\
 = 2\left( {\frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}} \right) + \left( {\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) < 0
\end{array}\)

Vậy dãy số tăng.

d) \(\frac{3}{2},\frac{{9\sqrt 2 }}{4},\frac{{27\sqrt 3 }}{8},\frac{{81\sqrt 4 }}{{16}},\frac{{243\sqrt 5 }}{{32}}\).

Ta có : \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{3^{n + 1}}\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}.\frac{{{2^n}}}{{{3^n}\sqrt n }} = \frac{{3.\sqrt {n + 1} }}{{2\sqrt n }} = \frac{3}{2}\sqrt {\frac{{n + 1}}{n}}  > 1\)

Vậy dãy số tăng.

-- Mod Toán 11 HỌC247