Bài tập 16 trang 109 SGK Toán 11 NC

a) Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), ta có:

u_n+1 − u_n = (n+1).2ⁿ > 0, ∀n ≥ 1.

Do đó (u_n) là một dãy số tăng.

b) Ta sẽ chứng minh u_n = 1+(n−1).2ⁿ  (1) với mọi n ≥ 1, bằng phương pháp qui nạp.

• Với n = 1, ta có u₁ = 1 = 1+(1−1).2¹. Như vậy (1) đúng khi n = 1
• Giả sử (1) đúng khi n = k, k ∈ N^∗, tức là u_k = 1+(k−1)2^k
• Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với n = k+1.

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp, ta có:

u_k+1 = u_k+(k+1).2^k = 1+(k−1).2^k+(k+1).2^k = 1+k.2^k+1

Vậy (1) đúng với mọi n ≥ 1.

-- Mod Toán 11 HỌC247