Phần hướng dẫn giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 2 Dãy số sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản-Nâng cao.
-
Bài tập 1 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11
Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:
a) \(u_n =\frac{n}{2^{n}-1}\);
b) \(u_n =\frac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\)
c) \(u_n =(1+\frac{1}{n})^{n}\);
d) \(u_n =\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\)
-
Bài tập 2 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11
Cho dãy số \(U_n\) , biết:
\(u_1 = -1; u_n+1 = u_n +3\) với \(n \geq 1\).
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: \(u_n = 3n -4.\)
-
Bài tập 3 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11
Dãy số un cho bởi: \(u_1 = 3; u_n+1 = \sqrt{1+u^{2}_{n}}, n\geq 1\).
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp
-
Bài tập 4 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11
Xét tính tăng, giảm của các dãy số un biết:
a) \(u_n=\frac{1}{n}-2\);
b) \(u_n =\frac{n-1}{n+1}\);
c) \(u_n = (-1)^n(2^n + 1)\)
d) \(u_n =\frac{2n+1}{5n+2}\).
- VIDEOYOMEDIA
-
Bài tập 5 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?
a) \(u_n = 2n^2 -1\)
b) \(u_n =\frac{1}{n(n+2)}\)
c) \(u_n =\frac{1}{2n^{2}-1}\)
d) \(u_n = sinn + cosn\)
-
Bài tập 3.9 trang 117 SBT Toán 11
Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số (un) biết
a) un = 101 - 2n
b) un = 3n - 7
c) \({u_n} = \frac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}}\)
d) \({u_n} = \frac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}}\)
-
Bài tập 3.10 trang 117 SBT Toán 11
Trong các dãy số (un) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?
a) \({u_n} = 2n - {n^2}\)
b) \({u_n} = n + \frac{1}{n}\)
c) \({u_n} = \sqrt {{n^2} - 4n + 7} \)
d) \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} - 6n + 11}}\)
-
Bài tập 3.11 trang 118 SBT Toán 11
Cho dãy số (un) xác định bởi
\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 5\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2,\,\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)a) Tìm công thức tính (un) theo n ;
b) Chứng minh (un) là dãy số tăng.
-
Bài tập 3.12 trang 118 SBT Toán 11
Cho dãy số (un) với un = n2 - 4n + 3
a) Viết công thức truy hồi của dãy số ;
b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới ;
c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.
-
Bài tập 3.13 trang 118 SBT Toán 11
Cho dãy số (un) với un = 1 + (n - 1).2n
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số ;
b) Tìm công thức truy hồi ;
c) Chứng minh (un) là dãy số tăng và bị chặn dưới.
-
Bài tập 3.14 trang 118 SBT Toán 11
Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện: Với mọi n ∈ N∗ thì
\(0 < {u_n} < 1\) và \({u_{n + 1}} < 1 - \frac{1}{{4{u_n}}}\)
Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.
-
Bài tập 3.15 trang 118 SBT Toán 11
Cho dãy số (un) xác định bởi công thức:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1,\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)Số hạng u4 là:
A. u3 + 7 B. 10 C. 12 D. u3 + 5
-
Bài tập 3.16 trang 118 SBT Toán 11
Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số (un) sau:
A. un = n2 + n - 1 B. un = 3n
C. un = sinn + cosn D. un = - 3n2 + 1
-
Bài tập 3.17 trang 118 SBT Toán 11
Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số (un) sau:
A. \(u_n = -3n + 1\) B. \(u_n = -2n^2 + n\)
C. \({u_n} = n + \frac{1}{n}\) D. \(u_n = \cos n + 1\)
-
Bài tập 9 trang 105 SGK Toán 11 NC
Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau:
a. Dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 3}}{n}\)
b. Dãy số (un) với \({u_n} = {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{4} + \cos \frac{{2n\pi }}{3}\)
c. Dãy số (un) với \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\sqrt {{4^n}} \)
-
Bài tập 10 trang 105 SGK Toán 11 NC
Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy số sau :
a. Dãy số (un) xác định bởi:
u1 = 0 và \({u_n} = \frac{2}{{u_{n - 1}^2 + 1}}\) với mọi n ≥ 2;
b. Dãy số (un) xác định bởi:
u1 = 1, u2 = −2 và \({u_n} = {u_{n - 1}} - 2{u_{n - 2}}\) với mọi n ≥ 3.
-
Bài tập 11 trang 106 SGK Toán 11 NC
Cho hình vuông A1B1C1D1 có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A2B2C2D2, A3B3C3D3, …, AnBnCnDn,… theo cách sau: Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm An, Bn, Cn, và Dn tương ứng trên các cạnh An-1Bn-1, Bn-1Cn-1, Cn-1Dn-1 và Dn-1An-1 sao cho An-1An = 1cm và AnBnCnDn là một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (un) với un là độ dài cạnh của hình vuông AnBnCnDn.
Hãy cho dãy số (un) nói trên bởi hệ thức truy hồi.
-
Bài tập 12 trang 106 SGK Toán 11 NC
Cho dãy số (un) xác định bởi :
u1 = 1 và un = 2un−1+3 với mọi n ≥ 2.
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có un = 2n+1−3 (1)
-
Bài tập 13 trang 106 SGK Toán 11 NC
Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :
a. Dãy số (un) với un = n3−3n2+5n−7;
b. Dãy số (xn) với \({x_n} = \frac{{n + 1}}{{{3^n}}}\)
c. Dãy số (an) với \({a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \)
-
Bài tập 14 trang 106 SGK Toán 11 NC
Chứng minh rằng dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\) là một dãy số giảm và bị chặn.
-
Bài tập 25 trang 109 SGK Toán 11 NC
Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 = 3 và un+1 = un+5 với mọi n ≥ 1.
a. Hãy tính u2, u4 và u6.
b. Chứng minh rằng un = 5n–2 với mọi n ≥ 1.
-
Bài tập 16 trang 109 SGK Toán 11 NC
Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 = 1 và un+1 = un+(n+1).2n với mọi n ≥ 1
a. Chứng minh rằng (un) là một dãy số tăng.
b. Chứng minh rằng un = 1+(n−1).2n với mọi n ≥ 1.
-
Bài tập 17 trang 109 SGK Toán 11 NC
Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 = 1 và \({u_{n + 1}} = \frac{2}{{u_n^2 + 1}}\) với mọi n ≥ 1
Chứng minh rằng (un) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).
-
Bài tập 18 trang 109 SGK Toán 11 NC
Cho dãy số (sn) với
\({s_n} = \sin \left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6}\).
a. Chứng minh rằng sn = sn+3 với mọi n ≥ 1
b. Hãy tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.