Bài tập 4 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11

Câu a:

Ta có \(U_{n+1}-U_n= \left ( \frac{1}{n+1}-2 \right )-\left ( \frac{1}{n}-2 \right )= \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\)

\(=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}.\)

\(=-\frac{1}{n(n+1)}< 0\Leftrightarrow U_{n+1}\)

⇒ dãy số đã cho giảm.

Câu b:

\(U_{n+1}-U_n= \frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}\)

\(\frac{n(n+1)-(n-1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+n-(n^2+n-2)}{(n+1)(n+2)}\)

\(=\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0\Leftrightarrow U_{n+1}>U_n\)

⇒ dãy số đã cho tăng.

Câu c:

Khi \(n=2k, k\geq 1\) thì \(U_n=U_{2k}=2^{2k+1} \ (1)\)

Khi \(n=2k+1, k\geq 0\) thì \(U_n=U_{2k+1}=-(2^{2k+1}+1) \ (2)\)

Từ (1) và (2) ⇒ dãy số đã cho không tăng và không giảm (dãy đan dấu)

Câu d:

\(U_{n+1}-U_n=\frac{2n+3}{5n+7}-\frac{2n+1}{5n+2}\)

\(=\frac{(2n+3)(5n+2)-(2n+1)(5n+7)}{(5n+7)(5n+2)}\)

\(=\frac{10n^2+19n+6-(10n^2+19n+7)}{(5n+7)(5n+2)}=-\frac{1}{(5n+7)(5n+2)}<0\)

\( \Leftrightarrow {U_{n + 1}} < {U_n}\)

⇒ dãy số đã cho giảm

-- Mod Toán 11 HỌC247