Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng

\(\Delta _{1}\): x - 2y + 3 = 0,

\(\Delta _{2}\): 3x - y - 1 = 0.

a) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

b) Giải hệ \(\left\{\begin{matrix}x-2y+3=0\\ 3x-y-1=0\end{matrix}\right.\)

c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) với nghiệm của hệ phương trình trên.

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(\Delta _{1}\): x + 4y - 3 = 0 và \(\Delta _{2}\): x - 4y - 3 = 0;

b) \(\Delta _{1}\): x + 2y - \(\sqrt{5}\) = 0 và \(\Delta _{2}\): 2x + 4y - \(3\sqrt{5}\) = 0.

Hai đường thẳng \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6.) Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?

Cho hai đường thẳng cắt nhau \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) tương ứng có các vecto pháp tuyến 

\(\overrightarrow{n_{1}}\), \(\overrightarrow{n_{2}}\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:

a) Góc \(\varphi\) và góc (\(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}\)).

b) cos\(\varphi \) và cos(\(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}\)).

Tính góc giữa hai đường thẳng: \(\Delta _{1}\): x + 3y + 2 = 0 và \(\Delta _{2}\): y = 3x + 1

Tính góc giữa hai đường thẳng: \(\Delta _{1}:\left\{\begin{matrix}x=2+t\\ y=1-2t\end{matrix}\right.\) và \(\Delta _{2}:\left\{\begin{matrix}x=1+t\\ y=5+3t\end{matrix}\right.\)

Cho đường thẳng \(\Delta\): y = ax + b, với a \(\neq \) 0.

a) Chứng minh rằng \(\Delta\) cắt trục hoành.

b) Lập phương trình đường thẳng \(\Delta_{0}\) đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với \(\Delta\).

c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa \(\alpha _{\Delta }\) và \(\alpha _{\Delta_{0} }\).

d) Gọi M là giao điểm của \(\Delta_{0}\) với nửa đường tròn đơn vị và x₀ là hoành độ của M. Tính tung độ M theo  x₀ và a. Từ đó, chứng minh rằng tan\(\alpha _{\Delta }\)=a.

Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng \(\Delta\): ax + by + c = 0 có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}(a; b)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta\)

a) Chứng minh rằng: \(\left | \overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM\) 

b) Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})=ax_{0}+by_{0}+c\)

c) Chứng minh rằng HM = \(\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{\begin{matrix}x=5+3t\\y=-5-4t\end{matrix}\right.\)

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5m, CF = 6m.

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1m thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(\Delta _{1}:3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0\) và \(\Delta _{2}: 6x+2y-\sqrt{6}=0\)

b) \(d _{1}: x-\sqrt{3}y+2=0\) và \(d _{2}: \sqrt{3}x-3y+2=0\)

c) \(m _{1}: x-2y+1=0\) và \(m _{2}: 3x+y-2=0\) 

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(\Delta _{1}:\sqrt{3}x+y-4=0\) và \(\Delta _{2}: x+\sqrt{3}y+3=0\) 

b) \(d_{1}:\left\{\begin{matrix}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{matrix}\right.\) và \(d_{2}:\left\{\begin{matrix}x=3+s\\ y=1-3s\end{matrix}\right.\) (t, s là các tham số)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-2; 0) và đường thẳng \(\Delta \): x + y - 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \(\Delta \)

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với \(\Delta \). 

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với \(\Delta \).

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(-2; 1).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a \(\neq \) 0) và d': y = a'x + b' (a' \(\neq \) 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.

Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) \(m:x + y - 2 = 0\) và \(k:2x + 2y - 4 = 0\)

b) \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 4\end{array} \right.\) và \(b:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t'\\y = 1 + t'\end{array} \right.\)

c) \({d_1}:x - 2y - 1 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 - t\end{array} \right.\)

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:y - 1 = 0\) và \(k:x - y + 4 = 0\)

b) \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2t\end{array} \right.\) và \(b:3x + y + 1 = 0\)

c) \(m:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 - \sqrt 3 t\end{array} \right.\) và \(n:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - t'\\y = \sqrt 3 t'\end{array} \right.\)

Cho hai đường thẳng \(d:2x + y + 1 = 0\) và \(k:2x + 5y - 3 = 0\)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó cắt nhau. Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.

b) Tính tan của góc giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng \(\Delta :3x + y - 3 = 0\) bằng \(\sqrt {10} \)

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :2x + y - 5 = 0\)

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm \(A\left( {3;1} \right)\) và song song với đường thẳng \(\Delta \)

b) Viết phương trình đường thẳng k đ qua điểm \(B\left( { - 1;0} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \)

c) Lập phương trình đường thẳng a song song với đường thẳng \(\Delta \) và cách điểm O một khoảng bằng \(\sqrt 5 \)

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác ABC có \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {2; - 2} \right)\) và \(C\left( {0; - 1} \right)\)

a) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A

b) Tính diện tích tam giác ABC

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Cho đường thẳng \(d:x - 2y + 1 = 0\) và điểm \(A\left( { - 2;2} \right)\)

a) Chứng minh A không thuộc đường thẳng d

b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d

c) Xác định điểm đối xứng của A qua đường thẳng d

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 3;0} \right),B\left( {1; - 2} \right)\) và đường thẳng \(d:x + y - 1 = 0\)

a) Chứng minh rằng hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d

b) Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABM

Trong một hoạt động ngoại khóa của trường, lớp Việt định mở một gian hàng bán bánh mì và nước khoáng. Biết rằng giá gốc một bánh mì là 15 000 đồng, một chai nước là 5 000 đồng. Các bạn dự kiến bán bánh mì với giá 20 000 đồng/ 1 bánh mì và nước giá 8 000 đồng/ 1 chai. Dựa vào thống kê số người tham gia hoạt động và nhu cầu thực tế các bạn dự kiến tổng số bánh mì và số chai nước không vượt quá 200. Theo quỹ lớp thì số tiền lớp Việt được dùng không quá 2 000 000 đồng. Hỏi lớp Việt có thể đạt được tối đa lợi nhuận là bao nhiêu?