Giải bài 7.8 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng

\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\).

Với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {{a_1};{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {{a_2};{b_2}} \right)\) trong ứng. Khi đó, góc \(\varphi \) giữa hai đường thằng đó được xác định thông qua công thức

\(cos\varphi  = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

Lời giải chi tiết

a) 

\(\Delta _{1}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{1}}(\sqrt{3}; 1)\) 

\(\Delta _{2}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{2}}(1; \sqrt{3})\) 

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\), ta có:

\(cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}})\right |=\frac{|\sqrt{3}.1+1.\sqrt{3}|}{\sqrt{1^{2}+3}.\sqrt{3+1^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) 

Do đó góc giữa \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) là \(\varphi =30^{o}\). 

b) 

\(d _{1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}(2; 4)\) 

\(d _{2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}(1; -3)\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(d _{1}\) và \(d _{2}\), ta có:

\(cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}})\right |=\frac{|2.1-3.4|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}.\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\) 

Do đó góc giữa \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) là \(\varphi \approx 26,6^{o}\). 

-- Mod Toán 10 HỌC247