Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Hãy chỉ ra một đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:

A = \(0,5x^{2}\)       

B = \(1-x^{2}\)     

C = \(x^{2}+x+1\)       

D = (1-x)(2x+1).

Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai      

A = \(3x+2\sqrt{x}+1\)         

B = \(-5x^{4}+3x^{2}+4\)

C = \(-\frac{2}{3}x^{2}+7x-4\)        

D = \(\left ( \frac{1}{x} \right )^{2}+2\frac{1}{x}+3\)

Cho hàm số bậc hai \(y=f(x)=x^{2}-4x+3\).

a) Xác định hệ số a. Tính f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.

b) Cho đồ thị hàm số y = f(x) (H.6.17). Xét trên từng khoảng $(-\infty ;1),(1;3);(3;+\infty )$, đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục Ox?

c) Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Cho đồ thị hàm số \(y=g(x)=-2x^{2}+x+3\) như Hình 6.18.

a) Xét trên từng khoảng \((-\infty ;1);\left (-1;\frac{3}{2}\right );\left ( \frac{3}{2};+\infty  \right )\), đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox?

b) Nhận xét về dấu của g(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Nêu nội dung thay vào ô có dấu ? trong bảng sau cho thích hợp:

• Trường hợp a > 0

• Trường hợp a < 0

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) \(-3x^{2}+x-\sqrt{2}\)

b) \(x^{2}+8x+16\) 

c) \(-2x^{2}+7x-3\)

Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m², hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích S(x) = \( -2x^{2}+2-x\) với 48.

Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \(-5x^{2}+x-1\leq 0\)  

b) \(x^{2}-8x+16\leq 0 \)   

c) \(x^{2}-x+6> 0 \) 

Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lê theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm só bậc hai h(t) = \(-4,9t^{2}+20t+1\), ở độ cao h(t) tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất?

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) \(3x^{2}-4x+1\)      

b) \(x^{2}+2x+1\)         

c) \(-x^{2}+3x-2\)            

d) \(-x^{2}+x-1\)      

Giải các bất phương trình bậc hai:

a) \(x^{2}-1\geq 0\)      

b) \(x^{2}-2x-1<0\)

c) \(-3x^{2}+12x+10\leq 0\)       

d) \(5x^{2}+x+1\geq 0\) 

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

\(x^{2}+(m+1)x+2m+3\)

Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu v_Q = 20m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.

Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x. Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) \(f(x) =  - {x^2} + 6x + 7\)     

b) \(g(x) = 3{x^2} - 2x + 2\)

c) \(h(x) =  - 16{x^2} + 24x - 9\)

d) \(k(x) = 2{x^2} - 6x + 1\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \(3{x^2} - 36x + 108 > 0\)   

b) \( - {x^2} + 2x - 2 \ge 0\)

c) \({x^4} - 3{x^2} + 2 \le 0\)   

d) \(\frac{1}{{{x^2} - x + 1}} \le \frac{1}{{2{x^2} + x + 2}}\)

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + 4{m^2} - m = 0\) (1)

a) Có hai nghiệm phân biệt 

b) Có hai nghiệm trái dấu

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) \( - {x^2} + (m + 1)x - 2m + 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

b) \({x^2} - (2m + 1)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Một công ti đồ gia dụng sản xuất bình đựng nước thấy rằng khi đơn giá của bình đựng nước là x nghìn đồng thì doanh thu R (tính theo đơn vị nghìn đồng) sẽ là \(R(x) =  - 560{x^2} + 50000x\)

a) Theo mô hình doanh thu này, thì đơn giá nào là quá cao dẫn đến doanh thu từ việc bán bình đựng nước bằng 0 (tức là sẽ không có người mua)?

b) Với khoảng đơn giá nào của bình đựng nước thì doanh thu từ việc bán bình đựng nước vượt mức 1 tỉ đồng?

Một viên đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu 500 m/s, hợp với phương ngang một góc bằng 45⁰. Biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên sẽ tuân theo phương trình:

\(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \)

Trong đó x là khoảng cách (tính bằng mét) vật bay được theo phương ngang, vận tốc ban đầu v0 của vật hợp với phương ngang một góc \(\alpha \) và g = 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Viết phương trình chuyển động của viên đạn

b) Để viên đạn bay qua một ngọn núi cao 4 000 mét thì khẩu pháp phải đặt cách chân núi một khoảng bao xa?

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)