Toán 10 Kết nối tri thức Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Người ta thường viết f(x) = ax² + bx + c. Các đa thức đã cho A = \(0,5x^{2}\), B = \(1-x^{2}\), C = \(x^{2}+x+1\), D = (1-x)(2x+1) là những tam thức bậc hai. Ở đa thức A, ta có ; a = 0,5; b = 0, c = 0.

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai ax2 + bx + c. 

Chú ý: Trong Định lí về dấu tam thức bậc hai có thể thay \(\Delta \) bởi \(\Delta '\).

Ví dụ: Xét dâu các tam thức bậc hai sau:

\(\begin{array}{l}
a){x^2} + x + 1\\
b) - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\\
c)2{x^2} + 6x - 8
\end{array}\)

Giải

a) \(f(x) = {x^2} + x + 1\) có \(\Delta = -3 < 0\) và a = 1 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x \(\in\) R.

b) \(g(x) =  - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\) có \(\Delta = 0\) và \(a =  - \frac{3}{2} > 0\) nên g(x) có nghiệm kép x = 3 và g(x) < 0 với mọi \(x \ne 3\).

c) Dễ thấy \(h(x) = 2{x^2} + 6x - 8\) có \(\Delta ' = 25 > 0,a = 2 > 0\) và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 4;{x_2} = 1\).

Do đó ta có bẳng xét dấu h(x)

Suy ra h(x) > 0 với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) và h(x) < 0 với mọi \(x \in \left( { - 4;1} \right)\).

Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai ax2+ bx + c > 0 (hoặc \(a{x^2} + bx + c \ge 0\), ax2+ bx + c < 0, \(a{x^2} + bx + c \le 0\)) ta cần xét dấu tam thức ax2+ bx + c, từ đó suy ra tập nghiệm. 

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
a)3{x^2} + x + 5 \le 0\\
b) - 3{x^2} + 2\sqrt 3  - 1 \ge 0\\
c) - {x^2} + 2x + 1 > 0
\end{array}\)

Giải

a) Tam thức \(f(x) = 3{x^2} + x + 5\) có \(\Delta  =  - 59 < 0\), hệ số a = 3 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là \(3{x^2} + x + 5 > 0\) với mọi \(x \in R\). Suy ra bất phường trình vô nghiệm.

b) Tam thức \(f(x) =  - 3{x^2} + 2\sqrt 3  - 1\) có \(\Delta ' = 0\), hệ số a = -3 < 0 nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi \(x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}\), tức là \(- 3{x^2} + 2\sqrt 3  - 1 < 0\) với mọi \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

c) Tam thức \(f(x) =  - {x^2} + 2x + 1\) có \(\Delta ' = 2 > 0\) nên f(x) có hai nghiệm \({x_1} = 1 - \sqrt 2 \) và \({x_2} = 1 + \sqrt 2 \) 

Mặt khác a = -1 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\) 

Câu 1: Cho hàm số bậc hai \(y=f(x)=x^{2}-4x+3\).

a) Xác định hệ số a. Tính f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.

b) Cho đồ thị hàm số y = f(x) (H.6.17). Xét trên từng khoảng \((-\infty ;1),(1;3);(3;+\infty )\), đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục Ox?

c) Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Hướng dẫn giải

a) a = 1

\(f(0)=0^{2}-4.0+3=3\), cùng dấu với a

\(f(1)=1^{2}-4.1+3=0\), không mang dấu

\(f(2)=2^{2}-4.2+3=-1\), trái dấu với a

\(f(3)=3^{2}-4.3+3=0\), không mang dấu.

\(f(4)=4^{2}-4.4+3=3\), cùng dấu với a

b)

\((-\infty ;1)\): đồ thị nằm phía trên trục hoành.

(1; 3): đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

\((3;+\infty )\): đồ thị nằm phía trên trục hoành.

c.

\((-\infty ;1)\): f(x) và hệ số a cùng dấu.

(1; 3): f(x) và hệ số a trái dấu.

\((3;+\infty )\): f(x) và hệ số a cùng dấu.

Câu 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \(-5x^{2}+x-1\leq 0\)       

b) \(x^{2}-8x+16\leq 0 \)         

c) \(x^{2}-x+6> 0 \)

Hướng dẫn giải

a) Tam thức f(x) = \(-5x^{2}+x-1\) có \( \Delta = -19<0\), a = -5 < 0 nên f(x) luôn âm. Suy ra bất phương trình luôn đúng.

Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = \(\mathbb{R}\)

b) Tam thức f(x) = \(x^{2}-8x+16\) có \(\Delta =0\) và a = 1 > 0 nên f(x) \(\geq >0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.

c) Tam thức f(x) = \(x^{2}-x+6\) \(\Delta = -23<0\), a = 1 > 0 nên f(x) luôn dương. Suy ra bất phương trình luôn đúng.

Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = \(\mathbb{R}\).

Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Hiểu được khái niệm tam thức bậc hai.

- Hiểu được định lý về dấu của tam thức bậc hai .

- Cách xét dấu của tam thức bậc hai.

 - Khái niệm và cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 6 Bài 17 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Giá trị nào của m thì phương trình \(\left( {m - 3} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x - \left( {m + 1} \right) = 0\) (1) có hai nghiệm phân biệt?

  • A. \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{5}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\) 
  • B. \(m \in \left( { - \frac{3}{5};1} \right)\) 
  • C. \(m \in \left( { - \frac{3}{5}; + \infty } \right)\) 
  • D. \(m \in \backslash \left\{ 3 \right\}\) 

• Câu 2:

  Tìm tập xác định của hàm số  \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} \).

  • A. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right]\) 
  • B. \(\left[ {2; + \infty } \right)\) 
  • C. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) 
  • D. \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\) 

• Câu 3:

  Các giá trị m để tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1\) đổi dấu 2 lần là

  • A. \(m \le 0\)  hoặc \(m \ge 28\). 
  • B. \(m < 0\)  hoặc \(m > 28\). 
  • C. \(0 < m < 28\) 
  • D. \(m > 0\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 6 Bài 17 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 1 trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 2 trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 3 trang 20 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 4 trang 20 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 2 trang 22 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 5 trang 22 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 2 trang 23 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Vận dụng trang 23 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 6.15 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 6.16 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 6.17 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 6.18 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 6.19 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 6.21 trang 18 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 6.22 trang 18 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 6.23 trang 18 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 6.24 trang 18 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 6.25 trang 18 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 6.26 trang 18 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 6.27 trang 19 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!