OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;0;2} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {1;1;0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\). Xét điểm \(M\) thay đổi thuộc \(\left( S \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng bao nhiêu?

A. \(\dfrac{1}{2}\)          

B. \(\dfrac{3}{4}\)       

C. \(\dfrac{{21}}{4}\)             

D. \(\dfrac{{19}}{4}\)

  bởi na na 07/05/2021
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} {\rm{\;}} + 2\overrightarrow {IB} {\rm{\;}} = \vec 0\) ta có:

    \(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \left( { - a; - b;2 - c} \right) + 2\left( {1 - a;1 - b; - c} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - a + 2 - 2a = 0}\\{ - b + 2 - 2b = 0}\\{2 - c - 2c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \dfrac{2}{3}}\\{b = \dfrac{2}{3}}\\{c = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right)}\end{array}\)

    Ta có:

    \(\begin{array}{*{20}{l}}{M{A^2} + 2M{B^2} = {{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)}^2} + 2{{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)}^2}}\\{ = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IA}  + I{A^2} + 2M{I^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}}\\{ = 3M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \underbrace {\left( {\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} } \right)}_{\vec 0} = 3M{I^2} + \underbrace {I{A^2} + 2I{B^2}}_{const}}\end{array}\)

    Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{A^2} = {{\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {2 - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} = \dfrac{8}{3}}\\{I{B^2} = {{\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)}^2} = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow I{A^2} + 2I{B^2} = 4\) không đổi \( \Rightarrow {\left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\) với \(I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M \in \left( S \right)\).

     

    Ta có \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3} - 1} \right)^2} = 1 > \dfrac{1}{4} \Rightarrow I\) nằm ngoài \(\left( S \right)\) .

     

    Vậy \({\left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} = 3M{I_{{{\min }^2}}} + 4 = 3.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + 4 = \dfrac{{19}}{4}\).

    Chọn D.

      bởi Nguyễn Lệ Diễm 07/05/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12