Bài tập 41 trang 11 SBT Toán 9 Tập 1

Hướng dẫn giải

Áp dụng: 

Với \(A \ge 0\) thì \(A = \sqrt {{A^2}} \) 

Và \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\) 

Với \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)

với \(A < 0\) thì \(\left| A \right| = - A\).

Hằng đẳng thức cần sử dụng:

\({(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

\({(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

Lời giải chi tiết

a) Vì x ≥ 0 nên \(x = {\left( {\sqrt x } \right)^2}\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{x - 2\sqrt x + 1} \over {x + 2\sqrt x + 1}}} \cr 
& = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x + 1} \over {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + 2\sqrt x + 1}}} \cr 
& = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \cr} \)

\( = {{\sqrt {{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}} }} = {{\left| {\sqrt x  - 1} \right|} \over {\left| {\sqrt x  + 1} \right|}} = {{\left| {\sqrt x  - 1} \right|} \over {\sqrt x  + 1}}\)

- Nếu \(\sqrt x  - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)  thì \(\left| {\sqrt x  - 1} \right| = \sqrt x  - 1\)

Ta có: \({{\left| {\sqrt x  - 1} \right|} \over {\sqrt x  + 1}} = {{\sqrt x  - 1} \over {\sqrt x  + 1}}\) (với x ≥ 1)

- Nếu \(\sqrt x  - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\) thì \(\left| {\sqrt x  - 1} \right| = 1 - \sqrt x \)

Ta có: \({{\left| {\sqrt x  - 1} \right|} \over {\sqrt x  + 1}} = {{1 - \sqrt x } \over {\sqrt x  + 1}}\) (với 0 ≤ x < 1)

b) Vì y ≥ 0 nên \(y = {\left( {\sqrt y } \right)^2}\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}\sqrt {{{{{\left( {y - 2\sqrt y + 1} \right)}^2}} \over {{{(x - 1)}^4}}}} \cr 
& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}{{\sqrt {{{\left( {y - 2\sqrt y + 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{(x - 1)}^4}} }} \cr} \)

\(\eqalign{
& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}{{\left| {y - 2\sqrt y + 1} \right|} \over {{{(x - 1)}^2}}} \cr 
& = {{\left| {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2} - 2\sqrt y + 1} \right|} \over {\left( {\sqrt y - 1} \right)(x - 1)}} = {{\left| {{{\left( {\sqrt y - 1} \right)}^2}} \right|} \over {\left( {\sqrt y - 1} \right)(x - 1)}} \cr} \)

\( = {{{{\left( {\sqrt y  - 1} \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt y  - 1} \right)(x - 1)}} = {{\sqrt y  - 1} \over {x - 1}}\) (x ≠ 1, y ≠ 1, y ≥ 0)

-- Mod Toán 9 HỌC247