Bài tập 7 trang 76 SGK Toán 12 NC

Đặt \(x = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^3} = {{\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right)}^3}}\\
\begin{array}{l}
 = 7 + 5\sqrt 2  + 7 - 5\sqrt 2  + 3.\sqrt[3]{{{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}^2}}}\\
.\sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} + 3.\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}.\sqrt[3]{{{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}}}
\end{array}\\
{ = 14 - 3\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right) = 14 - 3x}
\end{array}\)

Từ đó suy ra: \({x^3} + 3x - 14 = 0(1)\)

\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 7} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2
\end{array}\)

(Vì \({x^2} + 2x + 7 > 0\)

Vậy \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = 2\)

-- Mod Toán 12 HỌC247