Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Bài 1: Góc lượng giác và giá trị lượng giác của góc lượng giác

Trên mặt chiếc đồng hồ, kim giây đang ở vị trí ban đầu chỉ vào số 3 (Hình 1). Kim giây quay ba vòng và một phần tư vòng (tức là \(3\frac{1}{4}\) vòng) đến vị trí cuối chỉ vào số 6. Khi quay như thế, kim giây đã quét một góc với tia đầu chỉ vào số 3, tia cuối chỉ vào số 6.

Góc đó gợi nên khái niệm gì trong toán học? Những góc như thế có tính chất gì?

Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng.

Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau:

So sánh chiều quay của kim đồng hồ với:

a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.

b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.

Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác trong Hình 4b.

a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng ( tức là \(3\frac{1}{4}\) vòng). Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

c) Trong Hình 5x, toa Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo \(\frac{{ - 5\pi }}{4}\).

Trong Hình 7, hai góc lượng giác (Ou, Ov), (O′u′,O′v′) có tia đầu trùng nhau \(Ou \equiv O'u'\), tia cuối trùng nhau \(Ov \equiv O'v'\).

Nêu dự đoán về mối liên hệ giữa số đo của hai góc lượng giác trên.

Cho góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo \(\frac{{ - 4\pi }}{3}\)$\frac{\mathrm{}}{}$. Cho góc lượng giác  (O′u′,O′v′) có tia đầu O′u′≡Ou, tia cuối O′v′≡Ov. Viết công thức biểu thị số đo góc lượng giác (O′u′,O′v′).

Cho góc ( hình học) xOz, tia Oy nằm trong góc xOz ( Hình 8). Nêu mối liên hệ giữa số đo góc xOz và tổng số đo của hau góc xOy và yOz.

Cho góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo là \( - \frac{{11\pi }}{4}\), góc lượng giác (Ou,Ow) có số đó \(\frac{{3\pi }}{4}\). Tìm số đo của góc lượng giác (Ov,Ow).

a) Trong mặt phẳng tọa độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O và R = 1.

b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với R = 1.

Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho \((OA,ON) = \frac{{ - \pi }}{3}\).

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho \(\left( {OA,OM} \right) = {60^o}\).

b) So sánh hoành độ của điểm M với \(\cos {60^o}\); tung độ của điểm M với \(\sin {60^o}\).

Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\beta  =  - \frac{\pi }{4}\).

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác α = ‒30°.

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha  = \frac{{5\pi }}{6}\).

Cho góc lượng giác α. So sánh:

a) \(co{s^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^2}\alpha \) và 1;

b) \(tan\alpha {\rm{ }}.{\rm{ }}cot\alpha \) và 1 (với \(cos\alpha  \ne 0,{\rm{ }}sin\alpha  \ne 0\));

c) \(1 + ta{n^2}\alpha \) và \(\frac{1}{{co{s^2}\alpha }}\) với \(cos\alpha  \ne 0;\);

d) \(1 + {\cot ^2}\alpha \) và  \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với \(sin\alpha {\rm{ }} \ne {\rm{ }}0.\)

Cho góc lượng giác α sao cho \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)$\frac{\mathrm{}}{}$ và \(sin\alpha  = \frac{{ - 4}}{5}\). Tìm cosα.

Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha  = {45^o}\).

Tính giá trị của biểu thức: \(Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + cos\frac{\pi }{2}\)?

Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác (OA, OM) = α, góc lượng giác (OA, OM’) = – α (Hình 13).

a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.

b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác α và – α.

Tính:

a)\(co{s^2}\frac{\pi }{8} + co{s^2}\frac{{3\pi }}{8}\)

b)\(tan1^\circ .{\rm{ }}tan2^\circ .{\rm{ }}tan45^\circ .{\rm{ }}tan88^\circ .{\rm{ }}tan89^\circ \)

Dùng máy tính cầm tay để tính:

a) \(\;tan\left( {75^\circ } \right);\)

b) \(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right)\).

Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA, OM), (OA, ON), (OA, OP) lần lượt bằng \(\frac{\pi }{2};\frac{{7\pi }}{6}; - \frac{\pi }{6}\). 

CMR: Tam giác MNP là tam giác đều.

Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: \({225^o}; - {225^o}; - {1035^o};\frac{{5\pi }}{3};\frac{{19\pi }}{2}; - \frac{{159\pi }}{4}\).

Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

a) \(\frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\);

b) \(\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\);

c) \(k\pi \left( {k \in {\rm{Z}}} \right);\)

d) \(\frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \);

b) \(cos\alpha  =  - \frac{2}{3}\)$\frac{\mathrm{}}{}$ với \( - \pi  < \alpha  < 0\);

c) \(\tan \alpha  = 3\) với \( - \pi  < \alpha  < 0\);

d) \(\cot \alpha  = - 2\) với \(0 < \alpha  < \pi \).

Tính: 

a) \(A = {\sin ^2}{5^o} + {\sin ^2}{10^o} + {\sin ^2}{15^o} + ... + {\sin ^2}{85^o}\). (17 số hạng)

b) \(B = {\cos ^2}{5^o} + {\cos ^2}{10^o} + {\cos ^2}{15^o} + ... + {\cos ^2}{175^o}\). (35 số hạng)

Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 h.

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: 1 h; 3 h; 5 h.

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trên đường tròn lượng giác lấy điểm \(M\) sao cho \(\left( {OA,OM} \right) = {40^o}\). Gọi \(M'\) là điểm đối xứng với \(M\) qua gốc toạ độ. Khi đó số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,OM'} \right)\) bằng:

A. \({40^o} + k{360^o}\)

B. \({140^o} + k{360^o}\)

C. \({220^o} + k{360^o}\)

D. \({50^o} + k{360^o}\)

Cho \(\cos \alpha = - \frac{2}{5}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Khi đó, \(\tan \alpha \) bằng:

A. \(\frac{{\sqrt {21} }}{5}\)

B. \( - \frac{{\sqrt {21} }}{2}\)

C. \(\frac{{\sqrt {21} }}{2}\)

D. \( - \frac{{\sqrt {21} }}{5}\)

Cho \(\tan \alpha + \cot \alpha = 2\). Khi đó \({\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \) bằng:

A. 8

B. 4

C. 16

Kết quả thu gọn của biểu thức:

\(A = \sin \left( {\pi + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( {2\pi - x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right)\) là:

A. \( - 2\cot x\)

B. \(2\tan x\)

C. \(2\sin x\)

D. \( - 2\sin x\)

Cho \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha + 3{{\sin }^2}\alpha }}\) bằng:

A. 4

B. 0

C. 1

D. 2

Cho lục giác đều \(ABCDEF\)nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ \(A\) đến các đỉnh theo chiều ngược chiều kim đồng hồ). Tính số đo của các góc lượng giác \(\left( {OA,OB} \right)\), \(\left( {OA,OC} \right)\), \(\left( {OA,OD} \right)\), \(\left( {OA,OE} \right)\), \(\left( {OA,OF} \right)\)?

Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) với \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Tính \(\cos \alpha \), \(\tan \alpha \), \(\cot \alpha \)?

Cho \(\cot x = - 3\), \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \). Tính \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\)?

Chứng minh rằng:

a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).

b) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).

Cho \(\tan x = - 2\). Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) \(A = \frac{{3\sin x - 5\cos x}}{{4\sin x + \cos x}}\)

b) \(B = \frac{{2{{\sin }^2}x - 3\sin x\cos x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x + \sin x\cos x}}\)

Tính:

a) \(A = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} + {\cos ^2}\frac{{5\pi }}{8} + {\cos ^2}\frac{{7\pi }}{8}\)

b) \(B = \sin \frac{\pi }{5} + \sin \frac{{2\pi }}{5} + ... + \sin \frac{{9\pi }}{5}\) (có 9 số hạng)

c) \(C = \tan {1^o}{\rm{ }}.{\rm{ }}\tan {2^o}{\rm{ }}.{\rm{ }}\tan {3^o}.{\rm{ }}...{\rm{ }}{\rm{. }}\tan {89^o}\) (gồm 89 thừa số)

Chứng minh rằng trong tam giác \(ABC\), ta có:

a) \(\sin B = \sin \left( {A + C} \right)\)

b) \(\cos C = - \cos \left( {A + B + 2C} \right)\)

c) \(\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{{B + C}}{2}\)

d) \(\tan \frac{{A + B - 2C}}{2} = \cot \frac{{3C}}{2}\)

Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Tính:

a) \(A = \sin \alpha .\cos \alpha \)

b) \(B = \sin \alpha - \cos \alpha \)

c) \(C = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \)

d) \(D = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha \)

Một vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút. Tại vị trí quan sát, bạn Linh thấy vòng quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Khi vòng quay chuyển động được 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng bao nhiêu? (Tính theo đơn vị radian)