Hoạt động 9 trang 11 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

a) Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α (hình vẽ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó ta có: \(\widehat {AOM} = \alpha \).

Xét DOMH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có: \(O{M^2}\; = {\rm{ }}O{H^2}\; + {\rm{ }}M{H^2}\)

Suy ra\(\widehat {AOM} = \alpha \)$$ hay \(1 = {\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \).

Vậy \(co{s^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^2}\alpha  = {\rm{ }}1\).

b) Ta có \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\); \(cot\alpha  = \frac{{cos\alpha }}{{\sin \alpha }}\) (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0)

Suy ra \(tan\alpha .cot\alpha  = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }}.\frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }} = 1\).

c) Với cosα ≠ 0, ta có:

\(1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + {\left( {\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)$\frac{}{}$ (do \(co{s^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^2}\alpha  = {\rm{ }}1\)).

d) Với sinα ≠ 0, ta có:

\(1 + co{t^2}\alpha  = 1 + {\left( {\frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }}} \right)^2} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) (do  \(co{s^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^2}\alpha  = {\rm{ }}1\)).

-- Mod Toán 11 HỌC247