Giải bài 1 tr 82 sách GK Toán ĐS & GT lớp 11
Chứng minh rằng với \(n \in N*\), ta có đẳng thức:
a) \(2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\frac{n(3n+1)}{2}\);
b) \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\);
c) \(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\).
Hướng dẫn giải chi tiết bài 1
Câu a:
Khi n=1 ta thấy đẳng thức đã cho đúng. Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\geq 1,\) nghĩa là: \(2+5+8+...+3k-1=\frac{k(3k+1)}{2} (1)\) giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với \(n=k+1\), tức là \(2+5+8+....+3k-1+3k+2=\frac{(k+1)(3k+4)}{2} \ \ (2)\)
Thật vậy từ (1) ta có:
\((2+5+8+....+3k-1)+3k+2=\frac{(k+1)(3k+4)}{2}+3k+2\)
\(=\frac{k(3k+1)+2(3k+1)}{2}=\frac{3k^2+7k+4}{2}=\frac{(k+1)(3k+4)}{2}\)
Vậy (2) đúng ⇒ (đpcm)
Câu b:
Khi n = 1, đẳng thức đã cho là đúng.
Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\geq 1,\) tức là: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k}=\frac{2^k-1}{2^k} \ (1)\)
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với n = k + 1, tức là \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}} =\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}} \ (2)\)
Thật vậy từ (1) ta có: \(\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k} \right )+\frac{1}{2^{k+1}} =\frac{2^k-1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}\)
\(=\frac{2(2^k-1)+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\)
Câu c:
Khi n = 1, đẳng thức đã cho là đúng.
Giả sử đẳng thức với \(n=k\geq 1\), tức là:
\(1^2+2^2+3^2+...+k^2 =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với n = k +1, tức là:\(1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} +(k+1)^2\)
\(=\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}\)
\(=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)
Vậy (2) đúng, từ đó ⇒ (đpcm).
-- Mod Toán 11 HỌC247
Bài tập SGK khác
Bài tập 2 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3.1 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.2 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.3 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.4 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.5 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.6 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.7 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.8 trang 108 SBT Toán 11
Bài tập 1 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 2 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 3 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 4 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 6 trang 100 SGK Toán 11 NC
-
Chứng minh với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*},\) ta có: \({11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\) chia hết cho \(133\).
bởi Nguyen Phuc 20/11/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*},\) ta có: \(2{n^3} - 3{n^2} + n\) chia hết cho \(6\).
bởi thủy tiên 20/11/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh đẳng thức cho sau (với \(n \in N*\) ): \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}.\)
bởi Việt Long 20/11/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh đẳng thức cho sau (với \(n \in N*\) ): \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3};\)
bởi Hoàng giang 21/11/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Chứng minh đẳng thức cho sau (với \(n \in N*\) ): \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right).\)
bởi Hoai Hoai 20/11/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời