Bài tập 2 trang 100 SGK Toán 11 NC

• Với n = 1 ta có \({2^2} = \frac{{2.2.3}}{3}\) (đúng).

Vậy (1) đúng với n = 1

• Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:  

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} = \frac{{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3}\)

• Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

\(\begin{array}{l}
{2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2}\\
 = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{3}
\end{array}\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

\(\begin{array}{l}
{2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2}\\
 = \frac{{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3} + {\left( {2k + 2} \right)^2}\\
 = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{3}\\
 = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left[ {2k\left( {k + 2} \right) + 3\left( {k + 2} \right)} \right]}}{3}\\
 = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{3}
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k+1 do đó (1) đúng với mọi n∈N^∗

-- Mod Toán 11 HỌC247