Bài tập 3 trang 100 SGK Toán 11 NC
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức sau :
\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n \)
Hướng dẫn giải chi tiết
- Với n = 1 ta có \(1 < 2\sqrt 1 \).
Vậy (1) đúng với n = 1
- Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:
\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k }} < 2\sqrt k \)
- Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
\(\begin{array}{l}
1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k }} + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\\
< 2\sqrt {k + 1} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)
\end{array}\)
Theo giả thiết qui nạp ta có:
\(\begin{array}{l}
1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k }} + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\\
< 2\sqrt k + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}
\end{array}\)
Để chứng minh (*) ta cần chứng minh
\(2\sqrt k + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \)
Thật vậy ta có :
\(\begin{array}{l}
2\sqrt k + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \\
\Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} + 1 < 2\left( {k + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} < 2k + 1\\
\Leftrightarrow 4k\left( {k + 1} \right) < {\left( {2k + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 4{k^2} + 4k < 4{k^2} + 4k + 1
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 0 < 1\) (luôn đúng)
Vậy ta có (*) luôn đúng tức (1) đúng với n = k+1, do đó (1) đúng.
-- Mod Toán 11 HỌC247
Bài tập SGK khác
-
Cho dãy số \({u_n} = 1 + \left( {n + 3} \right){.3^n}\). khi đó công thức truy hồi của dãy là:
bởi Trần Bảo Việt 28/05/2020
A. un+1 = 1 +3un với n ≥ 1
B. un+1 = 1 +3un + 3n+1 với n ≥ 1
C. un+1 = un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1
D. un+1 = 3un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
A. Đúng
B. Sai
C. Không đúng không sai
D. Vừa đúng vừa sai
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({{u_n}}\) = \({n^2}\) – 4n – 2. Khi đó u10 bằng bao nhiêu
bởi Lê Bảo An 29/05/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?
bởi Nguyễn Sơn Ca 29/05/2020
A. Mạnh thu được 122 mảnh
B. Mạnh thu được 123 mảnh
C. Mạnh thu được 120 mảnh
D. Mạnh thu được 121 mảnh
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Tính giá trị của tổng S=1^2 +2^2+ 3^2+ .… +n^2
bởi Diễm Hằng 11/02/2020
Giá trị của tổngTheo dõi (1) 0 Trả lời