OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC

Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\)

AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Hướng dẫn giải chi tiết

  • Với n = 2 ta có \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{{12}} > \frac{{13}}{{24}}\)

Như vậy (1) đúng khi n = 2

  • Giả sử (1) đúng khi n = k, k > 2, tức là giả sử:

\(\frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} > \frac{{13}}{{24}}\)

  • Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

\(\frac{1}{{k + 2}} + \frac{1}{{k + 3}} + ... + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} > \frac{{13}}{{24}}\)

Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{k + 2}} + \frac{1}{{k + 3}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}}\\
 = \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} - \frac{1}{{k + 1}}\\
 = \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)}}{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}\\
 = \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}\\
 > \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} > \frac{{13}}{{24}}
\end{array}\)

(theo giả thiết quy nạp)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên n > 1.

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC HAY thì click chia sẻ 
 
 

Bài tập SGK khác

  • Thùy Trang

    Chứng minh: \(\left(4^n+6n-1\right)⋮9\) với \(n\in N;n\ge1\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • thu hằng

    CHO \(a+b\ge0\). CMR với mọi số nguyên dương n ta luôn có BĐT sau:(bằng PP quy nạp) \(\dfrac{a^n+b^n}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • VIDEO
    YOMEDIA
    Trắc nghiệm hay với App HOC247
    YOMEDIA
    Nguyễn Lê Tín
    Bài 3 (Sách bài tập trang 127)

    Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các bất đẳng thức :

    a) \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với \(n\ge4\)

    b) \(2^{n-3}>3n-1\) với \(n\ge8\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Nguyen Ngoc
    Bài 2 (Sách bài tập trang 127)

    Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các đẳng thức sau với \(n\in N^{\circledast}\)

    a) \(A_n=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+....+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)}\)

    b) \(B_n=1+3+6+10+...+\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\)

    c) \(S_n=\sin x+\sin2x+\sin3x+...+\sin nx=\dfrac{\sin\dfrac{nx}{2}\sin\dfrac{\left(n+1\right)x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • ADMICRO
    Nguyễn Lệ Diễm
    Bài 1 (Sách bài tập trang 126)

    Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng :

    a) \(n^5-n\) chia hết cho 5 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)

    b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9

    c) \(n^3-n\) chia hết cho 6 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)

     
    Theo dõi (0) 2 Trả lời
NONE
OFF