OPTADS360
AANETWORK
LAVA
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC

Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\)

ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Hướng dẫn giải chi tiết

  • Với n = 2 ta có \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{{12}} > \frac{{13}}{{24}}\)

Như vậy (1) đúng khi n = 2

  • Giả sử (1) đúng khi n = k, k > 2, tức là giả sử:

\(\frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} > \frac{{13}}{{24}}\)

  • Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

\(\frac{1}{{k + 2}} + \frac{1}{{k + 3}} + ... + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} > \frac{{13}}{{24}}\)

Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{k + 2}} + \frac{1}{{k + 3}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}}\\
 = \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} - \frac{1}{{k + 1}}\\
 = \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)}}{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}\\
 = \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}\\
 > \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} > \frac{{13}}{{24}}
\end{array}\)

(theo giả thiết quy nạp)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên n > 1.

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC HAY thì click chia sẻ 
 
 

Bài tập SGK khác

NONE
OFF