Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC
Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\)
Hướng dẫn giải chi tiết
- Với n = 2 ta có \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{{12}} > \frac{{13}}{{24}}\)
Như vậy (1) đúng khi n = 2
- Giả sử (1) đúng khi n = k, k > 2, tức là giả sử:
\(\frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} > \frac{{13}}{{24}}\)
- Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:
\(\frac{1}{{k + 2}} + \frac{1}{{k + 3}} + ... + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} > \frac{{13}}{{24}}\)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{k + 2}} + \frac{1}{{k + 3}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}}\\
= \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} - \frac{1}{{k + 1}}\\
= \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)}}{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}\\
= \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}\\
> \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} > \frac{{13}}{{24}}
\end{array}\)
(theo giả thiết quy nạp)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên n > 1.
-- Mod Toán 11 HỌC247
Bài tập SGK khác
-
Chứng minh: \(\left(4^n+6n-1\right)⋮9\) với \(n\in N;n\ge1\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
CHO \(a+b\ge0\). CMR với mọi số nguyên dương n ta luôn có BĐT sau:(bằng PP quy nạp) \(\dfrac{a^n+b^n}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Bài 3 trang 127 sách bài tập Đại số 11
bởi Nguyễn Lê Tín 25/10/2018
Bài 3 (Sách bài tập trang 127)Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các bất đẳng thức :
a) \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với \(n\ge4\)
b) \(2^{n-3}>3n-1\) với \(n\ge8\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Bài 2 trang 127 sách bài tập Đại số 11
bởi Nguyen Ngoc 29/10/2018
Bài 2 (Sách bài tập trang 127)Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các đẳng thức sau với \(n\in N^{\circledast}\)
a) \(A_n=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+....+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)}\)
b) \(B_n=1+3+6+10+...+\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\)
c) \(S_n=\sin x+\sin2x+\sin3x+...+\sin nx=\dfrac{\sin\dfrac{nx}{2}\sin\dfrac{\left(n+1\right)x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Bài 1 trang 126 sách bài tập Đại số 11
bởi Nguyễn Lệ Diễm 29/10/2018
Bài 1 (Sách bài tập trang 126)Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng :
a) \(n^5-n\) chia hết cho 5 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)
b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9
c) \(n^3-n\) chia hết cho 6 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)
Theo dõi (0) 2 Trả lời