Bài tập 4 trang 100 SGK Toán 11 NC
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có đẳng thức sau:
\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)
Hướng dẫn giải chi tiết
- Với n = 2 ta có \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) (đúng).
Vậy (1) đúng với n = 2
- Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:
\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right) = \frac{{k + 1}}{{2k}}\)
- Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = \frac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}\)
Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right)\\
.\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = \frac{{k + 1}}{{2k}}\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
= \frac{{k + 1}}{{2k}}.\frac{{{k^2} + 2k}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{{k + 1}}{{2k}}.\frac{{k\left( {k + 2} \right)}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}\\
= \frac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}
\end{array}
\end{array}\)
Vậy (1) đúng với n = k+1 do đó (1) đúng với mọi n ≥ 2.
-- Mod Toán 11 HỌC247
Bài tập SGK khác
-
Giúp mình tự luận câu 1 với ạTheo dõi (0) 0 Trả lời
-
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: (13n - 1) chia hết cho 6
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh n^5-n chia hết cho 10
bởi My Hien 14/11/2018
Chứng minh rằng :
n5-n ⋮ 10 (n ∈ N )
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2
bởi Trịnh Lan Trinh 25/03/2019
Chuyên mục: Toán không hay mà vẫn có thưởng!!!
1) Cho \(x;y\in R\) .Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(M=\left|x+1\right|+2\left|x-5\right|+\left|2x-7\right|+\left|\dfrac{x-11}{2}\right|\)
2) Tính: \(1^3+2^3+...+n^3\)
3) Cho tam giác ABC,đường cao AH. Trên 1 nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng BC lấy 2 điểm D và E sao cho
\(BD\perp BA;BD=BA\) và \(CE\perp CA;CE=CA\).Gọi t là giaio điểm BE và CD. Chứng minh A;T;H thẳng hàng
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Tính A=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)
bởi Nguyễn Thanh Hà 30/03/2019
Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)
Theo dõi (0) 1 Trả lời