OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Bài tập 4 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 4 trang 100 SGK Toán 11 NC

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có đẳng thức sau:

\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)

AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Hướng dẫn giải chi tiết

  • Với n = 2 ta có \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) (đúng).

Vậy (1) đúng với n = 2

  • Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right) = \frac{{k + 1}}{{2k}}\)

  • Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = \frac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}\)

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right)\\
.\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = \frac{{k + 1}}{{2k}}\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 = \frac{{k + 1}}{{2k}}.\frac{{{k^2} + 2k}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{{k + 1}}{{2k}}.\frac{{k\left( {k + 2} \right)}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}
\end{array}
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k+1 do đó (1) đúng với mọi n ≥ 2.

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 4 trang 100 SGK Toán 11 NC HAY thì click chia sẻ 
 
 

Bài tập SGK khác

  • Nguyen Yennhi
    Giúp mình tự luận câu 1 với ạ

    Theo dõi (0) 0 Trả lời
  • Hoa Mai

    Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: (13n - 1) chia hết cho 6

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • VIDEO
    YOMEDIA
    Trắc nghiệm hay với App HOC247
    YOMEDIA
    My Hien

    Chứng minh rằng :

    n5-n ⋮ 10 (n ∈ N )

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Trịnh Lan Trinh

    Chuyên mục: Toán không hay mà vẫn có thưởng!!!

    1) Cho \(x;y\in R\) .Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(M=\left|x+1\right|+2\left|x-5\right|+\left|2x-7\right|+\left|\dfrac{x-11}{2}\right|\)

    2) Tính: \(1^3+2^3+...+n^3\)

    3) Cho tam giác ABC,đường cao AH. Trên 1 nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng BC lấy 2 điểm D và E sao cho

    \(BD\perp BA;BD=BA\)\(CE\perp CA;CE=CA\).Gọi t là giaio điểm BE và CD. Chứng minh A;T;H thẳng hàng

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • ADMICRO
    Nguyễn Thanh Hà

    Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
NONE
OFF