Bài tập 3.4 trang 107 SBT Toán 11

a) Với n = 1 thì 2^{1 + 2} = 8 > 7 = 2.1 + 5

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 tức là 2^{k + 2} > 2k + 5 (1)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, tức là 2^{k + 3} > 2(k + 1) + 5 hay 2^{k + 3} > 2k + 7 

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được:

2^{k + 3} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3

Vì 2^{k + 3} > 0 nên 2^{k + 3} > 2k + 7 (đpcm)

b) Với n = 1 thì sin²α + cos²α = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có sin^2kα + cos^2kα ≤ 1 với k ≥ 1, ta phải chứng minh

sin^2k+2α + cos^2k+2α ≤ 1.

Thật vậy, ta có:

sin^2k+2α + cos^2k+2α = sin^2kα. sin²α + cos^2kα.cos²α ≤ sin^2kα + cos^2kα ≤ 1.

-- Mod Toán 11 HỌC247