OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tính tích phân sau bằng phương pháp đổi biến: \(\int\limits_0^\pi {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \) (đặt \(x = \pi - t\)).

Tính tích phân sau bằng phương pháp đổi biến: \(\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)    (đặt  \(x = \pi  - t\)).

  bởi minh vương 10/05/2021
AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • \(\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)

    Đặt \(x = \pi  - t\), ta suy ra:

    \(\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)\( = \int\limits_\pi ^0 {\dfrac{{\left( {\pi  - t} \right)\sin \left( {\pi  - t} \right)}}{{1 + {{\cos }^2}\left( {\pi  - t} \right)}}\left( { - dt} \right)} \)\( = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\left( {\pi  - t} \right)\sin t}}{{1 + {{\cos }^2}t}}dt} \) \( = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\left( {\pi  - x} \right)\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)

    \( = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\pi \sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}  - \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)

    \( \Rightarrow 2\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}  = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\pi \sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \) \( \Leftrightarrow \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}  = \dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)

    Xét \(I = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \), đặt \(u = \cos x \Rightarrow du =  - \sin xdx\).

    Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow u = 1,\) \(x = \pi  \Rightarrow u =  - 1\). Khi đó

    \(I = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)\( = \int\limits_1^{ - 1} {\dfrac{{ - du}}{{1 + {u^2}}}}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{du}}{{1 + {u^2}}}} \)

    Đặt \(u = \tan t\) \( \Rightarrow du = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\). Đổi cận \(u =  - 1 \Rightarrow t =  - \dfrac{\pi }{4},\) \(u = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}\).

    Khi đó \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{du}}{{1 + {u^2}}}}  = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {dt}  = \dfrac{\pi }{2}\)

    Vậy \(\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}  = \dfrac{\pi }{2}.I = \dfrac{{{\pi ^2}}}{4}\).

      bởi Trung Phung 10/05/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12